Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, apresente um contraexemplo.
(5 pontos) Se \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} é um conjunto de vetores não nulos e o processo de Gram-Schmidt aplicado a ele produz \left\{v_{1}, v_{2}, 0\right\}, então o conjunto original era linearmente independente (L.I.).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um conjunto de três vetores não nulos \{u_{1},u_{2},u_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3}.
  • Ao aplicar o processo de Gram–Schmidt nessa sequência obtemos os vetores \{v_{1},v_{2},0\}, isto é, o terceiro vetor ortogonal resultante é o vetor zero.
    A pergunta a responder é: a afirmação “então o conjunto original era linearmente independente (L.I.)” é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Vou explicar o que é necessário para entender o argumento (passo-a-passo do Gram–Schmidt e definição de independência linear), de modo que na prova você saiba aplicar e justificar.
Definição de independência linear (muito direta): os vetores \{u_1,u_2,u_3\} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha_1 u_1+\alpha_2 u_2+\alpha_3 u_3=0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Caso exista algum coeficiente não nulo que satisfaça essa combinação, os vetores são linearmente dependentes.
Gram–Schmidt (forma algébrica que vamos usar): dado uma sequência de vetores \{u_1,u_2,u_3\} em \mathbb{R}^3, o processo produz vetores ortogonais v_1,v_2,v_3 pela regra
v_1 = u_1,
v_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_2),
v_3 = u_3 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_3) - \operatorname{proj}_{v_2}(u_3),
onde a projeção é dada por
\operatorname{proj}_v(u)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v,
e \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual (produto escalar) em \mathbb{R}^3. Observação importante: se em algum passo o vetor que deveria ser subtraído é exatamente igual ao vetor original a ser ortogonalizado, o resultado fica zero — isso indica que o vetor sendo ortogonalizado está no subespaço gerado pelos vetores anteriores.

Passo 3

Interpretação do caso v_3=0 no algoritmo: se o processo produz v_3=0, isso significa, pela fórmula, que
0 = v_3 = u_3 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_3) - \operatorname{proj}_{v_2}(u_3).
Rearranjando,
u_3 = \operatorname{proj}_{v_1}(u_3) + \operatorname{proj}_{v_2}(u_3).
Cada projeção é um múltiplo escalar de v_1 ou v_2, e portanto u_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Como v_1 e v_2 pertencem ao subespaço gerado por u_1 e u_2 (porque v_1 é proporcional a u_1 e v_2 é u_2 menos algo em \operatorname{span}\{u_1\}), segue que u_3 está em \operatorname{span}\{u_1,u_2\}. Em palavras: u_3 é combinação linear de u_1 e u_2. Portanto o conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente dependente.
Já dá para ver a resposta: se o Gram–Schmidt produz v_3=0, o conjunto original NÃO pode ser linearmente independente. A afirmação do enunciado (que diz que o conjunto original era L.I.) é, portanto, falsa.

Passo 4

Para ser didático e mostrar como você faz isso na hora da prova, vou apresentar um contraexemplo concreto e calcular passo a passo o Gram–Schmidt para ele.
Considere os vetores não nulos
u_1=(1,0,0),\qquad u_2=(0,1,0),\qquad u_3=(1,1,0).
Aplicando Gram–Schmidt:
  • Primeiro, v_1=u_1=(1,0,0).
  • Segundo, calcule a projeção de u_2 sobre v_1:
\langle u_2,v_1\rangle = (0,1,0)\cdot(1,0,0)=0,\qquad \langle v_1,v_1\rangle=1,
logo
\operatorname{proj}_{v_1}(u_2)=0\cdot v_1=(0,0,0).
Então
v_2=u_2-\operatorname{proj}_{v_1}(u_2)= (0,1,0).
  • Terceiro, calcule as projeções de u_3 sobre v_1 e v_2:
\langle u_3,v_1\rangle = (1,1,0)\cdot(1,0,0)=1,\qquad \langle v_1,v_1\rangle=1,
portanto
\operatorname{proj}_{v_1}(u_3)=1\cdot v_1=(1,0,0).
E
\langle u_3,v_2\rangle=(1,1,0)\cdot(0,1,0)=1,\qquad \langle v_2,v_2\rangle=1,
portanto
\operatorname{proj}_{v_2}(u_3)=1\cdot v_2=(0,1,0).
Agora
v_3 = u_3 - \operatorname{proj}_{v_1}(u_3) - \operatorname{proj}_{v_2}(u_3) = (1,1,0) - (1,0,0) - (0,1,0) = (0,0,0).
Concluímos explicitamente que o processo produz \{v_1,v_2,0\}.
Note também que \,u_3 = u_1 + u_2, então os três vetores são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial 1\cdot u_1 + 1\cdot u_2 -1\cdot u_3 = 0).
Esse contraexemplo satisfaz as condições do enunciado (todos os u_i são não nulos e o Gram–Schmidt produz \{v_1,v_2,0\}), e mostra que o conjunto original NÃO é L.I.

Passo 5

Resumo didático para a prova (como justificar rapidamente): explique que, por definição do algoritmo, obter o vetor zero como v_3 significa que u_3 está no span dos vetores anteriores; portanto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente dependente. Logo a afirmação que diz que o conjunto original era linearmente independente é falsa; um contraexemplo simples é \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\} que produz \{(1,0,0),(0,1,0),0\} pelo Gram–Schmidt.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: \{u_1,u_2,u_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}, cujo Gram–Schmidt dá \{v_1,v_2,0\} e o conjunto é linearmente dependente.

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