Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se for falsa, apresente um contraexemplo.
(5 pontos) Se
é um conjunto de vetores não nulos e o processo de Gram-Schmidt aplicado a ele produz
, então o conjunto original era linearmente independente (L.I.).
(5 pontos) Se
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um conjunto de três vetores não nulos
. - Ao aplicar o processo de Gram–Schmidt nessa sequência obtemos os vetores
, isto é, o terceiro vetor ortogonal resultante é o vetor zero.
A pergunta a responder é: a afirmação “então o conjunto original era linearmente independente (L.I.)” é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Vou explicar o que é necessário para entender o argumento (passo-a-passo do Gram–Schmidt e definição de independência linear), de modo que na prova você saiba aplicar e justificar.
Definição de independência linear (muito direta): os vetores
são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
. Caso exista algum coeficiente não nulo que satisfaça essa combinação, os vetores são linearmente dependentes.
Gram–Schmidt (forma algébrica que vamos usar): dado uma sequência de vetores
em
, o processo produz vetores ortogonais
pela regra
onde a projeção é dada por
e
é o produto interno usual (produto escalar) em
. Observação importante: se em algum passo o vetor que deveria ser subtraído é exatamente igual ao vetor original a ser ortogonalizado, o resultado fica zero — isso indica que o vetor sendo ortogonalizado está no subespaço gerado pelos vetores anteriores.
Passo 3
Interpretação do caso
no algoritmo: se o processo produz
, isso significa, pela fórmula, que
Rearranjando,
Cada projeção é um múltiplo escalar de
ou
, e portanto
é combinação linear de
e
. Como
e
pertencem ao subespaço gerado por
e
(porque
é proporcional a
e
é
menos algo em
), segue que
está em
. Em palavras:
é combinação linear de
e
. Portanto o conjunto
é linearmente dependente.
Já dá para ver a resposta: se o Gram–Schmidt produz
, o conjunto original NÃO pode ser linearmente independente. A afirmação do enunciado (que diz que o conjunto original era L.I.) é, portanto, falsa.
Passo 4
Para ser didático e mostrar como você faz isso na hora da prova, vou apresentar um contraexemplo concreto e calcular passo a passo o Gram–Schmidt para ele.
Considere os vetores não nulos
Aplicando Gram–Schmidt:
- Primeiro,
. - Segundo, calcule a projeção de
sobre :
logo
Então
- Terceiro, calcule as projeções de
sobre e :
portanto
E
portanto
Agora
Concluímos explicitamente que o processo produz
.
Note também que
, então os três vetores são linearmente dependentes (há uma combinação não trivial
).
Esse contraexemplo satisfaz as condições do enunciado (todos os
são não nulos e o Gram–Schmidt produz
), e mostra que o conjunto original NÃO é L.I.
Passo 5
Resumo didático para a prova (como justificar rapidamente): explique que, por definição do algoritmo, obter o vetor zero como
significa que
está no span dos vetores anteriores; portanto
é linearmente dependente. Logo a afirmação que diz que o conjunto original era linearmente independente é falsa; um contraexemplo simples é
que produz
pelo Gram–Schmidt.
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
, cujo Gram–Schmidt dá
e o conjunto é linearmente dependente.