(a) ( 10 pontos) Apresente um método estudado em aula para determinar os autovalores de uma matriz e aplique-o à matriz A.
(b) ( 20 pontos) Analise para quais valores de a matriz A é diagonalizável. Nos casos em que for diagonalizável, encontre uma matriz inversível P tal que P^{-1} A P seja diagonal.
(a) apresentar um método visto em aula para determinar os autovalores e aplicá‑lo à matriz \,A.
(b) analisar para quais valores de a a matriz A é diagonalizável e, quando for, encontrar uma matriz inversível P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
Observação importante sobre os dados: na linha 3 há símbolos \bullet que deixam ambíguo onde aparece o parâmetro a pedido na parte (b). Não posso pedir esclarecimento, então vou assumir uma interpretação natural e simples que torna a questão clássica e consistente com o texto: assumirei que essas entradas significativas são
(3,3)=a (o parâmetro que o enunciado quer que varie) e
Se essa interpretação for diferente da que o seu enunciado original pretendia, avise depois; por agora prossigamos com essa hipótese.
Resumo do que vou responder: primeiro explico o método dos autovalores (polinômio característico) e aplico a A; depois explico o critério de diagonalizabilidade (multiplicidade algébrica vs. geométrica), calculo as auto‑espaços e concluo para quais a a matriz é diagonalizável. Vou ser bem passo a passo e didático.]
Passo 2
O método geral (visto em aula) para encontrar os autovalores de uma matriz quadrada A é:
Definição: um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que A v = \lambda v. Esse v chama‑se autovetor associado a \lambda.
Método prático: escrever (A-\lambda I)v=0. Há solução não trivial para v sse o determinante de A-\lambda I é zero. Portanto os autovalores são as raízes do polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Para matrizes em blocos (ou block‑diagonais), uma propriedade útil: se A é blocada em diagonal por blocos B e C (isto é, A=\operatorname{diag}(B,C)), então
O fator (\lambda-1) aparece duas vezes (uma de \lambda^{2}-1 e outra de (1-\lambda)) — portanto, para todo a temos que \lambda=1 é raiz de multiplicidade algébrica 2, e se a=1 essa multiplicidade sobe para 3 (porque então também a-\lambda=1-\lambda adiciona outro fator).
\lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 1 exceto no caso a=-1, quando a multiplicidade algébrica de -1 sobe para 2 (porque a-\lambda se anula aí).
Concluindo os autovalores (com multiplicidades algébricas):
\lambda=1, multiplicidade algébrica 2 (e 3 se a=1).
\lambda=-1, multiplicidade algébrica 1 (e 2 se a=-1).
\lambda=a, multiplicidade algébrica 1 (salvo quando a=1 ou a=-1, pois então coincide com um dos anteriores e a multiplicidade total soma).
Isso resolve a parte (a): o método foi o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 e aplicando‑o obtivemos os autovalores acima.]
Passo 4
Agora explico o conceito necessário para decidir diagonalizabilidade (parte (b)):
Definições:
A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico.
A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio (autovalores) \ker(A-\lambda I), isto é, o número máximo de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
Critério de diagonalizabilidade: uma matriz n\times n é diagonalizável (sobre o corpo considerado, ex.: \mathbb{R} ou \mathbb{C}) se, e somente se, para todo autovalor \lambda a multiplicidade geométrica coincidir com a multiplicidade algébrica, ou equivalentemente se a soma das dimensões dos autoespaços for n (temos n autovetores linearmente independentes).
Para aplicar esse critério precisamos encontrar os autoespaços de cada autovalor e comparar dimensões com as multiplicidades algébricas.
Passo 5
Calcular os autoespaços (e suas dimensões) explicitamente, aproveitando novamente a estrutura em blocos.
Escrevemos vetores x\in\mathbb{R}^{4} (ou \mathbb{C}^{4}) como x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}. Como A é bloco‑diagonal, a equação (A-\lambda I)x=0 separa em duas partes: uma para as coordenadas 1,2 (com B) e outra para 3,4 (com C).
Autovalor \lambda=1.
Para o bloco B: ( (B-I)\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}
Isto dá a condição -x_1 + x_2 = 0, ou seja x_1=x_2. Portanto o espaço próprio correspondente a B é gerado por \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} (dimensão 1).
Para o bloco C: ( (C-I)\begin{pmatrix}x_3\x_4\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a-1 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_3\x_4\end{pmatrix}=0).
Isto dá a equação (a-1)x_3=0; não há equação envolvendo x_4 (segunda linha é zero).
Se a\neq 1 então x_3=0 e x_4 é livre: contribuição ao espaço próprio = dimensão 1 (vetor gerador (0,0,0,1)^T).
Se a=1 então não há restrição sobre x_3,x_4: contribuição ao espaço próprio = dimensão 2 (vetores (0,0,1,0)^T e (0,0,0,1)^T).
Somando as contribuições (bloco B + bloco C):
Se a\neq 1: dimensão do autoespaço de \lambda=1 é 1+1=2.
Se a=1: dimensão é 1+2=3.
Compare com multiplicidade algébrica de \lambda=1:
Para a\neq 1: multiplicidade algébrica é 2, geométrica é 2 → ok.
Para a=1: multiplicidade algébrica é 3, geométrica é 3 → ok.
Autovalor \lambda=-1.
Bloco B: (B+I)=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} e a condição é x_1 + x_2 =0, logo autovetores do bloco gerados por \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix} (dimensão 1).
Bloco C: (C+I)=\begin{pmatrix}a+1 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}. As equações são (a+1) x_3 =0 e 2 x_4 =0.
Se a\neq -1 então x_3=0 e x_4=0: contribuição do bloco C é 0.
Se a=-1 então x_3 livre e x_4=0: contribuição é 1 (vetor (0,0,1,0)^T).
Somando:
Se a\neq -1: dimensão do autoespaço para \lambda=-1 é 1+0=1.
Se a=-1: dimensão é 1+1=2.
Compare com multiplicidade algébrica de \lambda=-1:
Se a\neq \pm 1 essa matriz é invertível (determinante a^{2}-1\neq 0), então x_1=x_2=0. Se a=1 ou a=-1 esse caso coincide com autovalor já tratado acima (colisões de autovalores), e o espaço correspondente já foi analisado quando tratamos \lambda=1 e \lambda=-1.
As equações dão que x_3 é livre (primeira linha é 0=0), e (1-a)x_4=0. Se a\neq 1 então x_4=0 e a contribuição do bloco é um vetor livre no componente 3 (isto é, autovetor (0,0,1,0)^T). Se a=1 novamente trata‑se do caso anterior.
Portanto, para a\neq \pm 1 o autovalor \lambda=a tem espaço próprio de dimensão 1 (gerado por (0,0,1,0)^T) e multiplicidade algébrica 1, compatível.]
Passo 6
Concluir sobre diagonalizabilidade juntando os resultados:
Para a\neq \pm 1: as multiplicidades algébricas são \operatorname{mult}_{\text{alg}}(1)=2, \operatorname{mult}_{\text{alg}}(-1)=1, \operatorname{mult}_{\text{alg}}(a)=1. As multiplicidades geométricas calculadas foram iguais a 2,1,1 respectivamente. Soma das dimensões dos autoespaços =2+1+1=4. Portanto A é diagonalizável.
Para a=1: os autovalores são \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3 e \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1. O espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão 3 (conforme cálculo no Passo 5). Soma das dimensões =3+1=4. Logo A é diagonalizável.
Para a=-1: os autovalores são \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. As dimensões geométricas foram 2 para cada um (ver Passo 5). Soma =2+2=4. Logo A é diagonalizável.
Conclusão: sob a interpretação adotada da matriz, A é diagonalizável para todo valor de a\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Não há nenhum valor de a que provoque perda de diagonalizabilidade — as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem em todos os casos.
Passo 7
Encontrar explicitamente uma matriz inversível P que diagonaliza A (ou seja, tal que P^{-1}AP=D é diagonal). Uma escolha simples de autovetores (obtidos acima) é:
para \lambda=1 do bloco B: v_{1}=(1,1,0,0)^{T};
para \lambda=-1 do bloco B: v_{2}=(1,-1,0,0)^{T};
para \lambda=a: v_{3}=(0,0,1,0)^{T};
para \lambda=1 do bloco C: v_{4}=(0,0,0,1)^{T}.
Repare que:
A v_{1}=1\cdot v_{1},\qquad A v_{2}=-1\cdot v_{2},\qquad A v_{3}=a\cdot v_{3},\qquad A v_{4}=1\cdot v_{4}.
Esses quatro vetores são linearmente independentes (têm suportes distintos por blocos e, no bloco 1–2, v_1 e v_2 são independentes). Então a matriz P formada por eles como colunas é inversível. Tomando
Se preferir, a ordem das colunas pode ser rearranjada; o importante é que as colunas sejam autovetores correspondentes às entradas da diagonal na mesma ordem.]
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda=1,\\ \lambda=-1,\\ \lambda=a. A multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2 (passando a 3 se a=1); a de \lambda=-1 é 1 (passando a 2 se a=-1); a de \lambda=a é 1 (salvo quando coincide com 1 ou -1).\n(b) A matriz A é diagonalizável para todo a. Uma matriz P inversível que diagonaliza A é