Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Seja B uma matriz 11 \times 9. Se existir um conjunto de 7 vetores que gere \operatorname{Col} B, a nulidade de B é maior ou igual a 2 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • B é uma matriz 11\times9 (ou seja, tem 9 colunas e atua \mathbb{R}^9\to\mathbb{R}^{11}).
  • Existe um conjunto de 7 vetores que gera \operatorname{Col} B.
    A pergunta é: a afirmação “a nulidade de B é maior ou igual a 2” é verdadeira ou falsa? Justificar (se for verdadeira) ou dar um contraexemplo (se for falsa).

Passo 2

Vou lembrar conceitos e resultados que vou usar, explicando cada símbolo:
  • \operatorname{Col} B é o subespaço de \mathbb{R}^{11} gerado pelas colunas de B.
  • A dimensão de \operatorname{Col} B chama-se posto de B (rank). Vou escrever isso como \operatorname{rank}(B)=\dim(\operatorname{Col} B).
    Explicação: o posto é o número de vetores de uma base de \operatorname{Col} B; esse número é igual à dimensão do espaço coluna.
  • A nulidade de B é a dimensão do núcleo (kernel) de B: \operatorname{nullity}(B)=\dim(\ker B).
  • Teorema fundamental (Teorema do posto-nulidade) para uma matriz com 9 colunas:
\operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=9.
Aqui o 9 é o número de colunas de B (espaço de partida).

Passo 3

Interpretar "existe um conjunto de 7 vetores que gera \operatorname{Col} B":
  • Se um conjunto de 7 vetores gera \operatorname{Col} B, então qualquer base de \operatorname{Col} B tem no máximo 7 vetores (uma base tem tamanho menor ou igual ao de qualquer conjunto gerador). Portanto
\dim(\operatorname{Col} B)=\operatorname{rank}(B)\le 7.
Explicação detalhada: a dimensão de um espaço vetorial é o menor número de vetores que geram esse espaço; assim, se há um gerador com 7 vetores, a dimensão não pode ser maior que 7.

Passo 4

Aplicar o teorema posto-nulidade:
\operatorname{nullity}(B)=9-\operatorname{rank}(B).
Como \operatorname{rank}(B)\le 7, segue
\operatorname{nullity}(B)\ge 9-7=2.
Logo a nulidade de B é de fato maior ou igual a 2.

Passo 5

Mostrar que a desigualdade é alcançável (exemplo construtivo, para intuir que não é apenas uma estimativa frouxa):
  • Considere as colunas de B definidas por c_1=e_1,\dots,c_7=e_7,c_8=0,c_9=0, onde e_i são os primeiros vetores da base canónica de \mathbb{R}^{11}.
  • Nesse caso \operatorname{Col} B=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_7\}, então \operatorname{rank}(B)=7.
  • Pelo teorema, \operatorname{nullity}(B)=9-7=2.
    Isto mostra que a conclusão \operatorname{nullity}(B)\ge 2 pode ocorrer com igualdade.

Passo 6

Conclusão final: a afirmação dada é verdadeira; a justificativa é que um gerador com 7 vetores implica \operatorname{rank}(B)\le7, e a partir de \operatorname{rank}(B)+\operatorname{nullity}(B)=9 obtemos \operatorname{nullity}(B)\ge2.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados