Em cada afirmação a seguir, responda se é verdadeira ou falsa. No caso de verdadeira, justifique. No caso de falsa, dê um contraexemplo.
(6 pontos) Seja
uma matriz
. Se existir um conjunto de 7 vetores que gere
, a nulidade de
é maior ou igual a 2 .
(6 pontos) Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma matriz (ou seja, tem 9 colunas e atua ). - Existe um conjunto de 7 vetores que gera
.
A pergunta é: a afirmação “a nulidade deé maior ou igual a 2” é verdadeira ou falsa? Justificar (se for verdadeira) ou dar um contraexemplo (se for falsa).
Passo 2
Vou lembrar conceitos e resultados que vou usar, explicando cada símbolo:
-
é o subespaço de gerado pelas colunas de . - A dimensão de
chama-se posto de (rank). Vou escrever isso como .
Explicação: o posto é o número de vetores de uma base de; esse número é igual à dimensão do espaço coluna. - A nulidade de
é a dimensão do núcleo (kernel) de : . - Teorema fundamental (Teorema do posto-nulidade) para uma matriz com 9 colunas:
Aqui o
é o número de colunas de
(espaço de partida).
Passo 3
Interpretar "existe um conjunto de 7 vetores que gera
":
- Se um conjunto de 7 vetores gera
, então qualquer base de tem no máximo 7 vetores (uma base tem tamanho menor ou igual ao de qualquer conjunto gerador). Portanto
Explicação detalhada: a dimensão de um espaço vetorial é o menor número de vetores que geram esse espaço; assim, se há um gerador com 7 vetores, a dimensão não pode ser maior que 7.
Passo 4
Aplicar o teorema posto-nulidade:
Como
, segue
Logo a nulidade de
é de fato maior ou igual a
.
Passo 5
Mostrar que a desigualdade é alcançável (exemplo construtivo, para intuir que não é apenas uma estimativa frouxa):
- Considere as colunas de
definidas por , onde são os primeiros vetores da base canónica de . - Nesse caso
, então . - Pelo teorema,
.
Isto mostra que a conclusãopode ocorrer com igualdade.
Passo 6
Conclusão final: a afirmação dada é verdadeira; a justificativa é que um gerador com 7 vetores implica
, e a partir de
obtemos
.
Resposta
Verdadeira.