Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, vale sempre
\det(AB)=\det(BA).
Para resolver isso, vamos usar a propriedade fundamental de determinantes: a multiplicatividade, que diz que
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 2

Aplicando a propriedade aos dois produtos, temos
\det(AB)=\det(A)\,\det(B),
e
\det(BA)=\det(B)\,\det(A).

Passo 3

Como \det(A) e \det(B) são números (escalres) e a multiplicação de escalares é comutativa, segue que
\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A).
Logo,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A)=\det(BA).

Resposta

Verdadeiro. \det(AB) e \det(BA) coincidem porque ambos valem \det(A)\,\det(B), e essa multiplicação de escalares é comutativa.

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