Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
\operatorname{det}\left[A \cdot\left(A{t}\right){-1}\right]=1.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a validade da igualdade
\det\bigl[A\,(A^{t})^{-1}\bigr]=1
onde A é uma matriz quadrada invertível. Vamos usar as propriedades de determinante:
  1. \det(BC)=\det(B)\,\det\text{(C)} para matrizes quadradas compatíveis;
  2. \det\bigl(B^{-1}\bigr)=\bigl[\det(B)\bigr]^{-1};
  3. \det\bigl(B^{t}\bigr)=\det(B).

Passo 2

Aplicando a propriedade do determinante de um produto, obtemos
\det\bigl[A\,(A^{t})^{-1}\bigr] =\det(A)\,\det\bigl((A^{t})^{-1}\bigr).

Passo 3

Pela propriedade do determinante de uma inversa e pela igualdade \det(A^{t})=\det(A), temos
\det\bigl((A^{t})^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(A^{t})} =\frac{1}{\det(A)}.

Passo 4

Substituindo em \det\bigl[A\,(A^{t})^{-1}\bigr], fica
\det\bigl[A\,(A^{t})^{-1}\bigr] =\det(A)\,\frac{1}{\det(A)} =1.

Resposta

Verdadeiro.

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