A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?”\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A cada aniversário a quantidade de velas necessárias é igual à sua idade naquele ano.\n
- As velas são vendidas em pacotes com
unidades.\n - Todo ano é comprado apenas um novo pacote (ou seja,
velas por ano, começando no primeiro aniversário).\n - As velas remanescentes são guardadas e acumuladas desde o primeiro aniversário.\n
- Precisamos achar o menor inteiro positivo
(idade, em anos) tal que, no aniversário de anos, as velas disponíveis naquele ano sejam insuficientes para cobrir a necessidade de velas.\n
Passo 2
Vamos traduzir o problema para linguagem matemática usando uma variável clara.\n
Defina = idade (em anos) no ano que estamos analisando.\n
Quantas velas foram compradas desde o início até o aniversário de anos? Como é comprado um pacote por ano desde o primeiro aniversário, o número de pacotes comprados é
. Assim, o total de velas compradas é
Defina
Quantas velas foram compradas desde o início até o aniversário de
Quantas velas foram necessárias desde o primeiro aniversário até o aniversário de
anos? No primeiro aniversário usou-se
vela, no segundo
velas, e assim por diante até
velas. O total usado é a soma dos inteiros de
a
, que escrevemos como
Passo 3
Explicar a soma
(triangular): existe uma fórmula clássica (Gauss). Uma demonstração simples por pareamento é esta: escrevendo a soma na ordem normal e de trás para frente e somando termo a termo, obtemos
pares cada um somando
; assim a soma dupla vale
, logo a soma simples vale metade disso. Portanto
Isso significa que o total de velas necessárias até o aniversário de
anos é
.
Passo 4
Condição de insuficiência: as velas compradas até então são insuficientes quando o total comprado é menor que o total necessário, isto é,
Vamos resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não muda):
Colocando tudo num lado:
Desenvolvendo:
Fatorando:
Passo 6
A inequação
tem solução quando
ou
. Como
é idade positiva, desprezamos
. Logo a condição de insuficiência é
Procuramos o menor inteiro positivo que satisfaça isso, que é
.
Passo 7
Verificação numérica (sempre bom checar):\n
- Para
: velas compradas . Velas necessárias . Exatamente suficientes.\n - Para
: velas compradas . Velas necessárias . Faltam velas, portanto insuficientes.\n
Tudo confere: o primeiro ano em que as velas são insuficientes é quando.