A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?”\n
Informações dadas:\n
  • A cada aniversário a quantidade de velas necessárias é igual à sua idade naquele ano.\n
  • As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades.\n
  • Todo ano é comprado apenas um novo pacote (ou seja, 12 velas por ano, começando no primeiro aniversário).\n
  • As velas remanescentes são guardadas e acumuladas desde o primeiro aniversário.\n
  • Precisamos achar o menor inteiro positivo n (idade, em anos) tal que, no aniversário de n anos, as velas disponíveis naquele ano sejam insuficientes para cobrir a necessidade de n velas.\n

Passo 2

Vamos traduzir o problema para linguagem matemática usando uma variável clara.\n
Defina n = idade (em anos) no ano que estamos analisando.\n
Quantas velas foram compradas desde o início até o aniversário de n anos? Como é comprado um pacote por ano desde o primeiro aniversário, o número de pacotes comprados é n. Assim, o total de velas compradas é
12n.
Quantas velas foram necessárias desde o primeiro aniversário até o aniversário de n anos? No primeiro aniversário usou-se 1 vela, no segundo 2 velas, e assim por diante até n velas. O total usado é a soma dos inteiros de 1 a n, que escrevemos como
\sum_{k=1}^{n} k.

Passo 3

Explicar a soma \sum_{k=1}^{n} k (triangular): existe uma fórmula clássica (Gauss). Uma demonstração simples por pareamento é esta: escrevendo a soma na ordem normal e de trás para frente e somando termo a termo, obtemos n pares cada um somando n+1; assim a soma dupla vale n(n+1), logo a soma simples vale metade disso. Portanto
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Isso significa que o total de velas necessárias até o aniversário de n anos é \dfrac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Condição de insuficiência: as velas compradas até então são insuficientes quando o total comprado é menor que o total necessário, isto é,
12n < \frac{n(n+1)}{2}.
Vamos resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 2 (positivo, então a desigualdade não muda):
24n < n(n+1).
Colocando tudo num lado:
0 < n(n+1) - 24n.
Desenvolvendo:
0 < n^2 + n - 24n,
0 < n^2 - 23n.
Fatorando:
0 < n(n-23).

Passo 6

A inequação n(n-23) > 0 tem solução quando n>23 ou n<0. Como n é idade positiva, desprezamos n<0. Logo a condição de insuficiência é
n > 23.
Procuramos o menor inteiro positivo que satisfaça isso, que é n=24.

Passo 7

Verificação numérica (sempre bom checar):\n
  • Para n=23: velas compradas =12\cdot 23 = 276. Velas necessárias \displaystyle=\frac{23\cdot 24}{2}=276. Exatamente suficientes.\n
  • Para n=24: velas compradas =12\cdot 24 = 288. Velas necessárias \displaystyle=\frac{24\cdot 25}{2}=300. Faltam 300-288=12 velas, portanto insuficientes.\n
    Tudo confere: o primeiro ano em que as velas são insuficientes é quando n=24.

Resposta

24

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