O lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a razão dessa sequência.
Passo 1
O enunciado diz: o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica.
Informações dadas:
Informações dadas:
- o primeiro termo da progressão é o lado do quadrado; vou chamar esse lado de
; - o segundo termo é a diagonal do quadrado; a diagonal de um quadrado de lado
vale (peguei essa informação da relação geométrica do quadrado); - o terceiro termo é a área do quadrado; a área vale
.
O que se pede: - determinar a razão (comum) da progressão geométrica formada por esses três termos.
Passo 2
Lembrete didático sobre progressão geométrica (PG):
Se uma sequência é uma PG com primeiro termo e razão
, então os termos satisfazem:
Se uma sequência é uma PG com primeiro termo
Aqui vamos identificar
,
e
. Não estou assumindo nada ainda além da definição da PG.
Passo 3
Usando a relação
com nossos termos:
Como
é o lado do quadrado, temos
, então podemos dividir ambos os lados por
e obter:
Portanto, a partir dos dois primeiros termos, a razão candidata é
.
Passo 4
Agora verificamos a consistência com o terceiro termo usando
:
Dividindo ambos os lados por
(novamente
):
Substituindo
encontramos
Isto mostra que, para que os três valores (lado, diagonal, área) formem uma PG, o lado do quadrado precisa ser
(unidades quaisquer), e isso é compatível com a razão encontrada.
Passo 5
Resumo e intuição: com
os três termos ficam
,
e
. De fato,
ou seja, a razão é constante e igual a
. Assim a resposta é única e consistente.