O lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Determine a razão dessa sequência.

Passo 1

O enunciado diz: o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica.
Informações dadas:
  • o primeiro termo da progressão é o lado do quadrado; vou chamar esse lado de s;
  • o segundo termo é a diagonal do quadrado; a diagonal de um quadrado de lado s vale s\sqrt{2} (peguei essa informação da relação geométrica do quadrado);
  • o terceiro termo é a área do quadrado; a área vale s^2.
    O que se pede:
  • determinar a razão (comum) da progressão geométrica formada por esses três termos.

Passo 2

Lembrete didático sobre progressão geométrica (PG):
Se uma sequência é uma PG com primeiro termo a_1 e razão r, então os termos satisfazem:
a_2 = a_1 r
a_3 = a_1 r^2
Aqui vamos identificar a_1 = s, a_2 = s\sqrt{2} e a_3 = s^2. Não estou assumindo nada ainda além da definição da PG.

Passo 3

Usando a relação a_2 = a_1 r com nossos termos:
s\sqrt{2} = s\,r.
Como s é o lado do quadrado, temos s\neq 0, então podemos dividir ambos os lados por s e obter:
r = \sqrt{2}.
Portanto, a partir dos dois primeiros termos, a razão candidata é \sqrt{2}.

Passo 4

Agora verificamos a consistência com o terceiro termo usando a_3 = a_1 r^2:
s^2 = s\,r^2.
Dividindo ambos os lados por s (novamente s\neq 0):
s = r^2.
Substituindo r = \sqrt{2} encontramos
s = (\sqrt{2})^2 = 2.
Isto mostra que, para que os três valores (lado, diagonal, área) formem uma PG, o lado do quadrado precisa ser 2 (unidades quaisquer), e isso é compatível com a razão encontrada.

Passo 5

Resumo e intuição: com s=2 os três termos ficam 2, 2\sqrt{2} e 4. De fato,
\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\quad\text{e}\quad\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2},
ou seja, a razão é constante e igual a \sqrt{2}. Assim a resposta é única e consistente.

Resposta

\sqrt{2}

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