Para cada arco gamma e função f abaixo, encontre o valor de
integralgamma f(z) d z
após observar que gamma é um contorn ^1 e que f é contínua por partes.
gamma é o arco de z=-1-j até z=1+j ao longo da curva y=x^3, e
f(z)= 4 y, & y>0 1, & y<0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgammaf(z),dz onde gamma é o arco de z=-1 - j até z=1 + j sobre a curva y = x^3, e a função é
f(z)=4y,&y>0,1,&y<0
O conteúdo é integral de linha em C e vamos precisar parametrizar gamma e usar a definição integral f(z),dz=integral f(z(t)),z'(t),dt.

Passo 2

Parametrizamos gamma por tin[-1,1] definindo
z(t)=x(t)+jy(t)=t+jt^3
Então
dzdt=1+j,3t^2,
ou seja,
dz=(1+j3t^2),dt

Passo 3

Note que y(t)=t^3, logo:
  • Para t<0, temos y<0 e f(z)=1.
  • Para t>0, temos y>0 e f(z)=4y=4t^3

Passo 4

Dividimos a integral em duas partes:
I1=integral-1^01cdot(1+j3t^2),dt,
que dá
I1=l[t+jt^3r]-1^0=(0+0)-l(-1+j(-1)r)=1+j

Passo 5

Agora a parte de tin[0,1]:
I2=integral0^14t^3,(1+j3t^2),dt =integral0^1(4t^3+j12t^5),dt =l[t^4+j2t^6r]0^1=1+j2

Passo 6

Somando as duas contribuições:
integralgammaf(z),dz=I1+I2=(1+j)+(1+j2)=2+3j

Resposta

2+3j

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