Para cada arco
e função
abaixo, encontre o valor de
após observar que
é um contorn
e que
é contínua por partes.
e
é o arco de
até
consistindo
(i) do segmento de reta que une estes pontos;
(ii) da porção dos eixos coordenados que ligam esses pontos.
(i) do segmento de reta que une estes pontos;
(ii) da porção dos eixos coordenados que ligam esses pontos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
vai de
até
, em duas trajetórias: o segmento de reta e o caminho pelos eixos. O conteúdo principal é integral de linha em
e primitiva de funções holomorfas.
Passo 2
A função
é inteira (holomorfa em todo
), então possui primitiva dada por
.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha em
, quando
admite primitiva
, temos
Passo 4
Aplicando aos extremos
e
:
Como o valor não depende do caminho escolhido, o resultado é o mesmo para (i) e (ii).