Para cada arco gamma e função f abaixo, encontre o valor de
integralgamma f(z) d z
após observar que gamma é um contorn ^1 e que f é contínua por partes.
f(z)=e^z e gamma é o arco de z=pi j até z=1 consistindo
(i) do segmento de reta que une estes pontos;
(ii) da porção dos eixos coordenados que ligam esses pontos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgammae^z,dz onde gamma vai de z=pi j até z=1, em duas trajetórias: o segmento de reta e o caminho pelos eixos. O conteúdo principal é integral de linha em C e primitiva de funções holomorfas.

Passo 2

A função f(z)=e^z é inteira (holomorfa em todo C), então possui primitiva dada por F(z)=e^z.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha em C, quando f admite primitiva F, temos
integralgammaf(z),dz=Fl(zfinalr)-Fl(zinicialr)

Passo 4

Aplicando aos extremos zinicial=pi j e zfinal=1:
integralgammae^z,dz=F(1)-F(pi j)=e^1-e^pi j=e-(-1)=e+1
Como o valor não depende do caminho escolhido, o resultado é o mesmo para (i) e (ii).

Resposta

e+1

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