(Equação de Ricatti) A equação
é chamada Equação de Ricatti.
(a) Mostre que se
e
são soluções da equação (0.1), então, a função
é a solução da equação de Bernoulli
(b) Sabendo que
é uma solução da equação de Ricatti
determine as demais soluções.
© Sabendo que
é uma solução da equação de Ricatti
determine as demais soluções.
(a) Mostre que se
© Sabendo que
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
(a) pede para mostrar que, dadas duas soluções
e
, o deslocamento
satisfaz uma equação de Bernoulli. Em (b) e © temos dois casos específicos de Riccati com solução conhecida, e devemos usar o item (a) para achar a solução geral.
Passo 2
Definimos
. Como cada
satisfaz
temos
Mas
então
Reorganizando, obtém-se
que é a equação de Bernoulli anunciada.
Passo 3
No caso (b) a equação é
então
,
e
. Uma solução particular é
. Definindo
e aplicando o resultado de (a), temos
ou seja
Isso é uma Bernoulli de grau 2. Dividindo por
e usando
chega-se à linear
O fator integrante é
. Logo
então
e finalmente
Passo 4
No caso © a equação é
então
,
e
. A solução conhecida é
. Definindo
e aplicando (a), obtemos
ou
Esta é Bernoulli (grau 2). Dividindo por
e pondo
vem
O fator integrante é
. Logo
e assim
portanto
Resposta
(a) Demonstramos que
satisfaz
(b) A solução geral de
com
é
$$y(x)=x + \Bigl[e{-x4/4}\bigl(\int x2e{x^4/4}dx + C\bigr)\Bigr]^{-1}.
com
é
$$y(x)=x^2 + \Bigl[e{2x3/3}\bigl(C-\int e{-2x3/3}dx\bigr)\Bigr]^{-1}.
$$