(Equação de Ricatti) A equação
y^prime+P(x) y+Q(x) y^2=f(x)
é chamada Equação de Ricatti.
(a) Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções da equação (0.1), então, a função z(x)=y2(x)-y1(x) é a solução da equação de Bernoulli
z^prime+(P+2 y2 Q) z-Q z^2=0
(b) Sabendo que y(x)=x é uma solução da equação de Ricatti
y^prime+x^3 y-x^2 y^2=1
determine as demais soluções.
© Sabendo que y(x)=x^2 é uma solução da equação de Ricatti
y^prime=y^2+2 x-x^4,
determine as demais soluções.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
y'+P(x)y+Q(x)y^2=f(x)
(a) pede para mostrar que, dadas duas soluções y1 e y2, o deslocamento z=y2-y1 satisfaz uma equação de Bernoulli. Em (b) e © temos dois casos específicos de Riccati com solução conhecida, e devemos usar o item (a) para achar a solução geral.

Passo 2

Definimos z(x)=y2(x)-y1(x). Como cada yi satisfaz
yi'+P yi+Q yi^2=f,
temos
z'=y2'-y1'=l(f-Py2-Qy2^2r)-l(f-Py1-Qy1^2r)=-P(z)-Q(y2^2-y1^2)
Mas
y2^2-y1^2=(y2-y1)(y2+y1)=z(2y2-z),
então
z'=-Pz-Ql(z(2y2-z)r)=-l(P+2Qy2r)z+Qz^2
Reorganizando, obtém-se
z'+(P+2Qy2)z-Qz^2=0,
que é a equação de Bernoulli anunciada.

Passo 3

No caso (b) a equação é
y'+x^3y-x^2y^2=1,
então P(x)=x^3, Q(x)=-x^2 e f(x)=1. Uma solução particular é y1(x)=x. Definindo z=y-x e aplicando o resultado de (a), temos
z'+l(x^3+2(-x^2),xr)z-(-x^2)z^2=0
ou seja
z'-x^3z+x^2z^2=0
Isso é uma Bernoulli de grau 2. Dividindo por z^2 e usando u=z^-1 chega-se à linear
u'+x^3u=x^2
O fator integrante é e^integral x^3dx=e^x^4/4. Logo
u=e^-x^4/4l(integral x^2e^x^4/4dx + Cr),
então
z=1u,
e finalmente
y(x)=x+l[e^-x^4/4l(integral x^2e^x^4/4dx + Cr)r]^-1

Passo 4

No caso © a equação é
y'=y^2+2x-x^4,
então P=0, Q=1 e f=2x-x^4. A solução conhecida é y1(x)=x^2. Definindo z=y-x^2 e aplicando (a), obtemos
z'+2x^2z-z^2=0
ou
z'+2x^2z=z^2
Esta é Bernoulli (grau 2). Dividindo por z^2 e pondo u=z^-1 vem
u'-2x^2u=-1
O fator integrante é e^-2integral x^2dx=e^-2x^3/3. Logo
u=e^2x^3/3l(C-integral e^-2x^3/3dxr)
e assim
z=1u,
portanto
y(x)=x^2+l[e^2x^3/3l(C-integral e^-2x^3/3dxr)r]^-1

Resposta

(a) Demonstramos que z=y2-y1 satisfaz
z'+(P+2Qy2)z - Qz^2=0
(b) A solução geral de
y'+x^3y - x^2y^2=1
com y1=x é
$$y(x)=x + \Bigl[e{-x4/4}\bigl(\int x2e{x^4/4}dx + C\bigr)\Bigr]^{-1}.
y(x)=x + l[e^-x^4/4l(integral x^2e^x^4/4dx + Cr)r]^-1 çãy’=y2+2x-x4$$
com y'=y^2+2x-x^4 é
$$y(x)=x^2 + \Bigl[e{2x3/3}\bigl(C-\int e{-2x3/3}dx\bigr)\Bigr]^{-1}.
$$

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