Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
\vec{F}(x, y)=\left(e^{x} \cos y,-e^{x} \operatorname{sen} y\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e os pontos e pede duas coisas:
  • Campo: \vec{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\operatorname{sen} y\bigr).
  • Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
O que se pede:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo (justificar).
  2. Se for conservativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y).
  3. Usar \varphi para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As componentes de \vec{F} são P(x,y)=e^{x}\cos y e Q(x,y)=-e^{x}\operatorname{sen} y.
  • Os pontos de integração são A=(0,0) e B=(1,2).

Passo 2

Observação sobre o domínio e o critério usado. As componentes P e Q são funções polidas (suaves) definidas para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, logo o domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^{2}. Como \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo, podemos aplicar o critério clássico: se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em \mathbb{R}^{2}, então \vec{F} é conservativo (existe potencial).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (usar \operatorname{sen} y=\sin y se preferir).
Derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=-e^{x}\sin y.
Derivada de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{x}\sin y\bigr)=-e^{x}\sin y.

Passo 4

Comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\sin y=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Como as derivadas coincidem em todo \mathbb{R}^{2} e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que \vec{F} é conservativo. Ou seja: existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi. Começamos pela condição
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=e^{x}\cos y.
Integramos em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int e^{x}\cos y\,dx = e^{x}\cos y + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 6

Determinar C(y) usando a outra componente do gradiente: deve valer
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=-e^{x}\sin y.
Calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y + C(y)\bigr)=-e^{x}\sin y + C'(y).
Igualando ao Q:
-e^{x}\sin y + C'(y) = -e^{x}\sin y \quad\Rightarrow\quad C'(y)=0.
Portanto C(y) é constante. Tomando a constante igual a zero (qualquer constante serve como potencial), obtemos
\varphi(x,y)=e^{x}\cos y.

Passo 7

Calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos:
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r=\varphi(B)-\varphi(A).
Avaliar \varphi em B=(1,2) e em A=(0,0):
\varphi(1,2)=e^{1}\cos 2 = e\cos 2, \qquad \varphi(0,0)=e^{0}\cos 0 = 1\cdot 1 = 1.
Logo
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r = e\cos 2 - 1.

Resposta

Conservativo: sim.
Função potencial: \varphi(x,y)=e^{x}\cos y (mais constante arbitrária).
Integral de linha \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec r = e\cos 2 - 1.

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