Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos:
e
.
Pontos:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e os pontos e pede duas coisas:
- Campo:
. - Pontos:
e .
O que se pede:
- Determinar se
é conservativo (justificar). - Se for conservativo, encontrar uma função potencial
. - Usar
para calcular a integral de linha .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As componentes de
são e . - Os pontos de integração são
e .
Passo 2
Observação sobre o domínio e o critério usado. As componentes
e
são funções polidas (suaves) definidas para todo par
, logo o domínio natural do campo é todo
. Como
é simplesmente conexo, podemos aplicar o critério clássico: se
em
, então
é conservativo (existe potencial).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (usar
se preferir).
Derivada de em relação a
:
Derivada de
Derivada de
em relação a
:
Passo 4
Comparando as derivadas parciais:
Como as derivadas coincidem em todo
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. Ou seja: existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Encontrar a função potencial
. Começamos pela condição
Integramos em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 6
Determinar
usando a outra componente do gradiente: deve valer
Calcule
a partir da expressão obtida:
Igualando ao
:
Portanto
é constante. Tomando a constante igual a zero (qualquer constante serve como potencial), obtemos
Passo 7
Calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos:
Avaliar
em
e em
:
Logo
Resposta
Conservativo: sim.
Função potencial: (mais constante arbitrária).
Integral de linha .
Função potencial:
Integral de linha