Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
\vec{F}(x, y)=(y, x)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e os pontos inicial e final:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=(y,x).
  • Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
O que é pedido:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo e justificar.
  2. Se for conservativo, encontrar uma função potencial.
  3. Usar a função potencial para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

O que significa “conservativo” e o critério que vamos usar (explicação didática):
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é chamado conservativo se existe uma função escala \varphi(x,y) (função potencial) tal que
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)=(P,Q).
  • Uma consequência prática muito usada em provas: se o domínio onde o campo está definido é simplesmente conexo (sem “buracos”) e P e Q têm derivadas parciais contínuas, então um teste simples é verificar se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se essa igualdade vale, o campo é conservativo (nessas condições).
  • Explicando em miúdos: isso vem da igualdade das derivadas mistas de uma função potencial hipotética, porque se \varphi_{x}=P e \varphi_{y}=Q então \varphi_{xy}=\varphi_{yx}, logo P_{y}=Q_{x}.
No nosso caso:
  • Podemos trabalhar no domínio \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, e as componentes são polinômios (logo têm derivadas contínuas). Portanto o critério acima é aplicável.

Passo 3

Aplicando o teste das derivadas parciais:
  • Identificamos P(x,y)=y e Q(x,y)=x.
  • Calculamos as derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1, pela razão do passo anterior o campo \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Encontrando a função potencial (método passo a passo e explicando cada passo):
  • Queremos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=y, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=x.
  • Integramos a primeira igualdade em relação a x. Ao integrar \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=y tratando y como constante, obtemos
\varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x funções de y aparecem como constantes).
  • Agora impomos a segunda igualdade. Diferenciando a expressão obtida em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy + h(y)\bigr)=x + h'(y).
  • Essa derivada deve ser igual a Q(x,y)=x. Portanto
x + h'(y) = x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
  • Assim h(y) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (qualquer constante dá a mesma diferença de potenciais):
\varphi(x,y)=xy + C.
Para simplicidade tomamos C=0 e usamos
\varphi(x,y)=xy.

Passo 5

Usando a função potencial para calcular a integral de linha (regra e cálculo):
  • Para um campo conservativo \vec{F}=\nabla\varphi, a integral de linha entre A e B é independente do caminho e é dada pelo Teorema Fundamental do Gradiente:
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
  • Avaliando \varphi nos pontos dados:
\varphi(B)=\varphi(1,2)=1\cdot 2=2, \qquad \varphi(A)=\varphi(0,0)=0\cdot 0=0.
  • Portanto
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2-0=2.

Passo 6

Checagem (opcional, mostra que é independente do caminho) — pequena verificação direta por parametrização:
  • Vou parametrizar o caminho mais óbvio, a reta de A a B: \vec{r}(t)=(t,2t), t\in[0,1].
  • Então d\vec{r}=(1,2)\,dt e \vec{F}(\vec{r}(t))=(2t,t).
  • O produto escalar é \vec{F}\cdot d\vec{r}=(2t,t)\cdot(1,2)=2t+2t=4t.
  • Integrando:
\int_{0}^{1}4t\,dt=\left.2t^{2}\right|_{0}^{1}=2,
coincidindo com o resultado pelo potencial (bons sinais de consistência).

Resposta

Conservativo; função potencial \varphi(x,y)=xy.\n \displaystyle \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2

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