Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
\vec{F}(x, y)=(y, x)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e os pontos inicial e final:
Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=(y,x).
Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
O que é pedido:
Determinar se \vec{F} é conservativo e justificar.
Se for conservativo, encontrar uma função potencial.
Usar a função potencial para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot d\vec{r}.
Passo 2
O que significa “conservativo” e o critério que vamos usar (explicação didática):
Um campo vetorial \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é chamado conservativo se existe uma função escala \varphi(x,y) (função potencial) tal que
Uma consequência prática muito usada em provas: se o domínio onde o campo está definido é simplesmente conexo (sem “buracos”) e P e Q têm derivadas parciais contínuas, então um teste simples é verificar se
Se essa igualdade vale, o campo é conservativo (nessas condições).
Explicando em miúdos: isso vem da igualdade das derivadas mistas de uma função potencial hipotética, porque se \varphi_{x}=P e \varphi_{y}=Q então \varphi_{xy}=\varphi_{yx}, logo P_{y}=Q_{x}.
No nosso caso:
Podemos trabalhar no domínio \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, e as componentes são polinômios (logo têm derivadas contínuas). Portanto o critério acima é aplicável.
Assim h(y) é constante. Podemos escolher essa constante igual a zero (qualquer constante dá a mesma diferença de potenciais):
\varphi(x,y)=xy + C.
Para simplicidade tomamos C=0 e usamos
\varphi(x,y)=xy.
Passo 5
Usando a função potencial para calcular a integral de linha (regra e cálculo):
Para um campo conservativo \vec{F}=\nabla\varphi, a integral de linha entre A e B é independente do caminho e é dada pelo Teorema Fundamental do Gradiente: