Em cada caso abaixo, admita que y é definido implicitamente como função de x e calcule y^prime=d yd x.
x^3+x^2 y+y^4=0.

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita
x^3+x^2y+y^4=0
e pede para calcular y'= dydx.
Aqui vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto em x^2y e a regra da cadeia em y^4.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de ,x^3+x^2y+y^4=0 em relação a x, com y=y(x), obtemos
ddx(x^3)+ddx(x^2y)+ddx(y^4)=0
Calculando cada derivada:
ddx(x^3)=3x^2, ddx(x^2y)=2x,y + x^2,y', ddx(y^4)=4y^3,y'
Substituindo na equação:
3x^2 + l(2x,y + x^2y'r) + 4y^3y' = 0 Longrightarrow 3x^2 + 2xy + x^2y' + 4y^3y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem y' e isolando-o:
x^2y' + 4y^3y' = -l(3x^2 + 2xyr) Longrightarrow l(x^2 + 4y^3r),y' = -3x^2 - 2xy
Logo,
y' = -3x^2 - 2xyx^2 + 4y^3

Resposta

y' = -3x^2 + 2xyx^2 + 4y^3

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