Em cada caso abaixo, explique por que a função dada é diferenciável no ponto
indicado, determine a linearização
no ponto
, e obtenha a equação do plano tangente no ponto correspondente do gráfico:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. O que pede:
- Explicar por que
é diferenciável em . - Determinar a linearização
de em . - Obter a equação do plano tangente ao gráfico
no ponto correspondente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida quando
. - No ponto
temos , logo está no domínio da função. - O valor da função em
é .
Passo 2
Entender o que é pedido e as ferramentas que vamos usar (sem entrar em teorias muito técnicas ainda):
- Para provar diferenciabilidade em
é suficiente mostrar que as derivadas parciais existem num entorno de e são contínuas em (teorema padrão de análise real multivariada que vamos usar aqui). - A linearização (aproximação afim de primeira ordem) em
tem a forma
onde
e
são as derivadas parciais.
- O plano tangente ao gráfico
no ponto é exatamente .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Explicando passo a passo:
- Escrevendo
, tem-se . - Derivada de
em relação a é . - Como
, a derivada parcial em relação a trata como constante e . Portanto
- De modo análogo,
e
Aqui cada símbolo significa:
-
é a taxa de variação de quando varia e fica fixo. -
é a taxa de variação de quando varia e fica fixo.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais em
:
- Primeiro
e . - Assim
Passo 5
Mostrar diferenciabilidade em
:
- As fórmulas de
e são . Essas funções são bem definidas e contínuas em qualquer ponto onde , ou seja, onde . - No ponto
temos . Portanto existe um entorno de (por exemplo tomar e garante ) em que as derivadas parciais existem e são contínuas. - Pelo teorema que diz “se as derivadas parciais existem num entorno e são contínuas em
então é diferenciável em ”, concluímos que é diferenciável em .
Passo 6
Determinar a linearização
em
usando a fórmula:
- Tomando
, e , com , tem-se
- Simplificando essa expressão:
- Conferência rápida: em
fica , como deve ser.
Passo 7
Equação do plano tangente ao gráfico
no ponto
:
- O plano tangente é dado por
. Podemos escrever de duas formas equivalentes:
ou, na forma simplificada,
- Essa é a equação do plano que melhor aproxima o gráfico de
perto de .
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento:
- Viu como usar a derivada da função composta
e a continuidade das derivadas parciais resolve tudo? Faça um exercício parecido trocando por um ponto onde para treinar — vai pegar o jeito rapidinho!
Resposta
Diferenciável em
: sim.
Linearização: .
Plano tangente: .
Linearização:
Plano tangente: