O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. As informações relevantes são:
A equação diferencial escrita de forma diferencial (diferenciais dx e dy aparecem);
A condição inicial y(0)=0.]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma de derivada dy/dx para ver se é possível separar variáveis. Dividindo ambos os lados por dx e por (1+\cos(x)) (quando não nulo) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-y}+1}{1+\cos(x)}\sin(x).
Essa forma já permite pensar em separação de variáveis (colocar termos com y de um lado e termos com x do outro).
Passo 3
Simplificar a função em x usando uma identidade trigonométrica útil. Usar
Observação de domínio: a solução está bem definida num intervalo onde \cos(\tfrac{x}{2})\neq 0 (ou seja, x\neq(2k+1)\pi); com a condição inicial x=0 a solução vale ao redor de 0 até o primeiro ponto singular.