Resolva os PVI’s
\left\{\begin{array}{l}\left(e^{-y}+1\right) \sin (x) d x=(1+\cos (x)) d y \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} \left(e^{-y}+1\right)\sin(x)\,dx=(1+\cos(x))\,dy,\\[4pt] y(0)=0. \end{array}\right.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial escrita de forma diferencial (diferenciais dx e dy aparecem);
  • A condição inicial y(0)=0.]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma de derivada dy/dx para ver se é possível separar variáveis. Dividindo ambos os lados por dx e por (1+\cos(x)) (quando não nulo) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-y}+1}{1+\cos(x)}\sin(x).
Essa forma já permite pensar em separação de variáveis (colocar termos com y de um lado e termos com x do outro).

Passo 3

Simplificar a função em x usando uma identidade trigonométrica útil. Usar
\sin(x)=2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right), \qquad 1+\cos(x)=2\cos^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Portanto
\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=\frac{2\sin(\tfrac{x}{2})\cos(\tfrac{x}{2})}{2\cos^2(\tfrac{x}{2})} =\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Assim a equação fica mais simples:
\frac{dy}{dx}=\bigl(e^{-y}+1\bigr)\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 4

Agora separar variáveis: escrever todos os termos em y multiplicando dy no lado esquerdo, e os termos em x multiplicando dx no lado direito:
\frac{dy}{e^{-y}+1}=\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\,dx.
Para integrar o lado esquerdo de forma conveniente, multiplica-se numerador e denominador por e^{y}:
\frac{dy}{e^{-y}+1}=\frac{e^{y}\,dy}{1+e^{y}}.
Isto é útil porque a derivada de \ln(1+e^{y}) é exatamente \dfrac{e^{y}}{1+e^{y}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados. À esquerda:
\int \frac{e^{y}}{1+e^{y}}\,dy=\ln\!\bigl(1+e^{y}\bigr)+C_1,
pois \dfrac{d}{dy}\ln(1+e^{y})=\dfrac{e^{y}}{1+e^{y}}.
À direita, usar a substituição u=\tfrac{x}{2} (então du=\tfrac{dx}{2}, dx=2\,du):
\int \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\,dx=2\int \tan(u)\,du= -2\ln\!\bigl|\cos(u)\bigr|+C_2 = -2\ln\!\left|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|+C_2.
Juntando as integrais e absorvendo constantes em uma única constante C obtemos a solução implícita geral:
\ln\!\bigl(1+e^{y}\bigr)=-2\ln\!\left|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|+C.

Passo 6

Determinar C usando a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 na expressão implícita:
\ln\!\bigl(1+e^{0}\bigr)=\ln(2)= -2\ln\!\bigl|\cos(0)\bigr|+C = -2\ln(1)+C = C.
Logo C=\ln(2).

Passo 7

Inserir C=\ln(2) na solução implícita:
\ln\!\bigl(1+e^{y}\bigr)=-2\ln\!\left|\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|+\ln(2).
Usar propriedades dos logaritmos para combinar termos:
\ln\!\bigl(1+e^{y}\bigr)=\ln\!\left(\frac{2}{\cos^2(\tfrac{x}{2})}\right).
Exponenciando ambos os lados:
1+e^{y}=\frac{2}{\cos^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}=2\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Isolando e^{y}:
e^{y}=2\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)-1.

Passo 8

Opcionalmente, simplificar a expressão usando \cos^2(\tfrac{x}{2})=\dfrac{1+\cos x}{2}. Substituindo:
1+e^{y}=\frac{2}{\cos^2(\tfrac{x}{2})}=\frac{2}{(1+\cos x)/2}=\frac{4}{1+\cos x},
portanto
e^{y}=\frac{4}{1+\cos x}-1=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}.
Tomando o logaritmo natural:
y=\ln\!\left(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\right).
Observação de domínio: a solução está bem definida num intervalo onde \cos(\tfrac{x}{2})\neq 0 (ou seja, x\neq(2k+1)\pi); com a condição inicial x=0 a solução vale ao redor de 0 até o primeiro ponto singular.

Resposta

\displaystyle y(x)=\ln\!\left(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\right)

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