Em cada caso, calcule a área do setor circular de raio r e ângulo central de medida \theta.
r=6 \mathrm{cme} \theta=90^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi pedido: calcular a área do setor circular com raio r e ângulo central de medida \theta.
  • Dados fornecidos:
    • r=6\\ \mathrm{cm}.
    • \theta=90^\circ.

Passo 2

Fórmula e explicação intuitiva do que é área de setor.
  • Ideia: a área de um setor é a parte da área do círculo correspondente à fração do círculo que o setor ocupa.
  • A área do círculo inteiro é \pi r^2.
  • Se o ângulo do setor for \theta (medido em radianos), a fração do círculo ocupada é \dfrac{\theta}{2\pi} (porque 2\pi radianos = círculo inteiro).
  • Multiplicando a área total pela fração obtém-se a área do setor:
A = \frac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2.
  • Simplificando essa expressão obtemos a fórmula padrão (usar sempre \theta em radianos):
A = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\theta.
Aqui:
  • A é a área do setor (unidade: \mathrm{cm}^2),
  • r é o raio (unidade: \mathrm{cm}),
  • \theta é o ângulo em radianos.

Passo 3

Converter o ângulo de graus para radianos.
  • Fórmula de conversão: para passar de graus para radianos usa-se
\theta_{\text{rad}}=\theta^\circ\cdot \frac{\pi}{180}.
  • Aplicando ao nosso caso com \theta^\circ=90^\circ:
\theta_{\text{rad}}=90^\circ\cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular a área usando a fórmula com \theta em radianos.
  • Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=(6\\ \mathrm{cm})^{2}=36\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Agora aplique a fórmula \displaystyle A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta com \theta=\dfrac{\pi}{2}:
A=\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot \frac{\pi}{2}.
  • Simplificando passo a passo:
A=18\cdot \frac{\pi}{2}=9\pi.
  • Colocando a unidade:
A=9\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 5

Interpretação final e aproximação numérica (útil para conferir no caderno).
  • A expressão exata da área é \,9\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Aproximação numérica (usando \pi\approx3{,}1416):
9\pi\approx 28{,}27\\ \mathrm{cm}^2.
  • Pronto! Esse é o valor que deve aparecer na prova — se pedirem exato use 9\pi\\ \mathrm{cm}^2; se pedirem aproximado use 28{,}27\\ \mathrm{cm}^2. Vai dar certo, segue confiante!

Resposta

9\pi\\ \mathrm{cm}^2

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