Em cada caso, calcule a área do setor circular de raio r e ângulo central de medida \theta.
r=12 \mathrm{me} \theta=45^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do setor circular dado:
  • Raio: r=12 (unidade de comprimento).
  • Ângulo central: \theta=45^\circ.
A pergunta é: qual é a área do setor com esses dados?

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática).
  • Um setor circular é uma “fatia” do círculo. A área de um círculo inteiro de raio r é \pi r^{2}.
  • A fração do círculo correspondente a um setor depende da medida do ângulo central: se o ângulo do setor for \theta (em radianos), então a fração é \dfrac{\theta}{2\pi} do círculo inteiro.
  • Portanto a área do setor vale:
\text{Área do setor} = \frac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^{2} = \frac{1}{2}\,r^{2}\theta,Á
onde:
  • r é o raio (comprimento),
  • \theta é o ângulo central em radianos.
  • Observação importante: nessa fórmula \theta precisa estar em radianos. Se o ângulo estiver em graus, converte-se para radianos antes de aplicar.

Passo 3

Como converter graus em radianos (aula curta).
  • A relação entre graus e radianos é:
1^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \text{radianos}.
  • Então, para \theta=45^\circ,
\theta_{\text{rad}} = 45^\circ\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{45}{180}\pi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula passo a passo.
  • Primeiro calcule r^{2}:
r^{2} = 12^{2} = 144.
  • Agora use \theta=\dfrac{\pi}{4} na fórmula \text{Área}=\dfrac{1}{2}r^{2}\thetaÁ:
\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot 144 \cdot \frac{\pi}{4}.Á
  • Simplificando passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot 144 = 72,
72\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{72}{4}\pi = 18\pi.
Portanto a área exata do setor é \;18\pi.

Passo 5

Aproximação numérica e unidade.
  • Se for necessário um valor numérico aproximado, use \pi\approx 3{,}14159:
18\pi \approx 18\cdot 3{,}14159 \approx 56{,}55.
  • A unidade da área é o quadrado da unidade de comprimento usada para r. Como r foi dado em uma unidade genérica, a área fica em \text{unidades de área}á.

Resposta

18\pi\\ \text{unidades de área} \approx 56{,}55\\ \text{unidades de área}áá

Exercícios relacionados