Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.
y=x^3 / 2, 1 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o comprimento do arco da curva y = x^3/2 no intervalo 1 <= x <= 4. Esse tema é comprimento de arco de função no plano e a gente vai precisar da fórmula L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro passo concreto: vamos derivar y em relação a x. Como y = x^3/2, aplicamos a regra da potência e obtemos
$$
y’ = \frac{3}{2} x^{1/2}.$$

Passo 3

Agora montamos a fórmula de comprimento de arco:
$$
L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + (y’)^2},dx = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{3}{2} x{1/2}\Bigr)2},dx.$$

Passo 4

Vamos simplificar o integrando. Primeiro
(y')^2 = l(tfrac32 x^1/2r)^2 = 94x,
então
1 + (y')^2 = 1 + 94x = 4 + 9x4
Logo
raiz1 + (y')^2 = raiz4 + 9x4 = 12raiz9x + 4

Passo 5

Substituindo de volta em L:
L = integral1^4 12raiz9x + 4,dx = 12 integral1^4 raiz9x + 4,dx
Para calcular essa integral, fazemos a troca de variável u = 9x + 4, então du = 9,dx ou dx = du/9. Quando x=1, u=13, e quando x=4, u=40.

Passo 6

A integral fica
12 integralu=13^u=40 raizu du9 = 118 integral13^40 u^1/2,du
Integrando u^1/2 obtemos
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23 u^3/2
Então
L = 118 cdot 23 l[u^3/2r]13^40 = 127 l[(40)^3/2 - (13)^3/2r]

Passo 7

Para simplificar, lembrando que 40^3/2 = (raiz40)^3 = (2raiz10)^3 = 8cdot10raiz10 = 80raiz10 e 13^3/2 = 13raiz13, chegamos em
L = 127l(80raiz10 - 13raiz13r)

Passo 8

Esse é o valor exato do comprimento do arco pedido.

Resposta

L = 80raiz10 - 13raiz1327

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