Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo
. Esse tema é comprimento de arco de função no plano e a gente vai precisar da fórmula
.
Passo 2
Primeiro passo concreto: vamos derivar
em relação a
. Como
, aplicamos a regra da potência e obtemos
$$
y’ = \frac{3}{2} x^{1/2}.$$
Passo 3
Agora montamos a fórmula de comprimento de arco:
$$
L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + (y’)^2},dx = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{3}{2} x{1/2}\Bigr)2},dx.$$
Passo 4
Vamos simplificar o integrando. Primeiro
então
Logo
Passo 5
Substituindo de volta em
:
Para calcular essa integral, fazemos a troca de variável
, então
ou
. Quando
,
, e quando
,
.
Passo 6
A integral fica
Integrando
obtemos
Então
Passo 7
Para simplificar, lembrando que
e
, chegamos em
Passo 8
Esse é o valor exato do comprimento do arco pedido.