Em cada caso, calcule lim x x0 f(x), onde:
f(x)=raiz[3]x-raiz[3]2x-2, x0=2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 2raiz[3]x-raiz[3]2x-2
Estamos diante de uma indeterminação 0/0. O conteúdo é cálculo de limite de tipo indeterminado e vamos usar a fatoração da diferença de cubos para resolver.

Passo 2

Note que
x-2=(raiz[3]x)^3-(raiz[3]2)^3,
e a identidade da diferença de cubos diz
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r)
Tomando a=raiz[3]x e b=raiz[3]2, obtemos a fatoração necessária.

Passo 3

Aplicando a fatoração, temos
x-2=(raiz[3]x-raiz[3]2)l((raiz[3]x)^2+raiz[3]x,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2r),
de modo que
raiz[3]x-raiz[3]2x-2 =1(raiz[3]x)^2+raiz[3]x,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2

Passo 4

Agora basta fazer xto2. Como raiz[3]xtoraiz[3]2, o denominador tende a
(raiz[3]2)^2+raiz[3]2,raiz[3]2+(raiz[3]2)^2 =3(raiz[3]2)^2
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limxto2raiz[3]x-raiz[3]2x-2 =13(raiz[3]2)^2

Resposta

13(raiz[3]2)^2

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