1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(e) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se “a soma de duas sequências divergentes é sempre divergente”. O conteúdo envolve definição de convergência e divergência de sequência, e para refutar a afirmação falsa precisamos encontrar um contra-exemplo em que duas sequências não convirjam, mas cuja soma converge.

Passo 2

Uma sequência (xn) diverge quando não existe limntoinftyxn. Isso pode acontecer porque (xn) cresce sem limite ou porque oscila sem se aproximar de um único valor.

Passo 3

Considere as sequências
an = (-1)^n,
bn = (-1)^n+1
Cada uma delas oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar, logo limntoinftyan e limntoinftybn não existem. Entretanto, sua soma é
an + bn = (-1)^n + (-1)^n+1 = 0
para todo n, portanto
limntoinfty(an + bn) = 0
Este contra-exemplo mostra que a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente.

Resposta

Falso. Apresentamos an = (-1)^n e bn = (-1)^n+1, ambas divergentes, cuja soma é identicamente zero e, portanto, converge a 0.

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