1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(e) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;
(e) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;
Passo 1
O enunciado pergunta se “a soma de duas sequências divergentes é sempre divergente”. O conteúdo envolve definição de convergência e divergência de sequência, e para refutar a afirmação falsa precisamos encontrar um contra-exemplo em que duas sequências não convirjam, mas cuja soma converge.
Passo 2
Uma sequência
diverge quando não existe
. Isso pode acontecer porque
cresce sem limite ou porque oscila sem se aproximar de um único valor.
Passo 3
Considere as sequências
Cada uma delas oscila entre
e
sem se estabilizar, logo
e
não existem. Entretanto, sua soma é
para todo
, portanto
Este contra-exemplo mostra que a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente.
Resposta
Falso. Apresentamos
e
, ambas divergentes, cuja soma é identicamente zero e, portanto, converge a 0.