Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\ln \left(1+x^{2}\right)-\ln (1+x)\right]

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\bigl[\ln(1+x^{2})-\ln(1+x)\bigr].
Informações dadas e domínio: a expressão envolve logaritmos naturais \ln(\cdot). Para que \ln(1+x) esteja definido precisamos de 1+x>0, ou seja x>-1; como estamos levando x\to+\infty isso está dentro do domínio, portanto a expressão é bem definida para x grandes. A pergunta é se o limite existe e, caso exista, qual é o seu valor (se não existir, explicar por que).

Passo 2

Usar uma propriedade básica dos logaritmos: para números positivos A e B vale
\ln(A)-\ln(B)=\ln\!\left(\frac{A}{B}\right).
Aplicando aqui com A=1+x^{2} e B=1+x (ambos positivos para x>-1), obtemos:
\ln(1+x^{2})-\ln(1+x)=\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right).
Então o limite pedido é equivalente a
\lim_{x\to +\infty}\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right).

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do quociente \dfrac{1+x^{2}}{1+x} quando x\to+\infty. Uma forma intuitiva é fatorar x em cima e embaixo:
\frac{1+x^{2}}{1+x} = \frac{x^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}{x\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)} = x\cdot\frac{1+\tfrac{1}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}}.
Portanto
\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right) = \ln x + \ln\!\left(\frac{1+\tfrac{1}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}}\right).

Passo 4

Agora estude cada termo quando x\to+\infty.
  • Sabemos que \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty: o logaritmo cresce sem limite quando seu argumento tende a infinito.
  • Para o segundo termo, observe que \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)=1 e \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)=1. Logo
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(\frac{1+\tfrac{1}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{1}\right)=\ln 1=0.
Juntando:
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right) = \lim_{x\to+\infty}\ln x + 0 = +\infty.

Passo 5

Se quiser uma justificativa alternativa (para consolidar a ideia): para x\ge 1 tem-se 1+x\le 2x, então
\frac{1+x^{2}}{1+x}\ge \frac{1+x^{2}}{2x}\ge \frac{x^{2}}{2x}=\frac{x}{2}.
Aplicando \ln obtém-se
\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right)\ge \ln\!\left(\frac{x}{2}\right)=\ln x - \ln 2,
e como \ln x\to+\infty segue que o lado esquerdo tende a +\infty. Isso confirma que o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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