Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações dadas e domínio: a expressão envolve logaritmos naturais
. Para que
esteja definido precisamos de
, ou seja
; como estamos levando
isso está dentro do domínio, portanto a expressão é bem definida para
grandes. A pergunta é se o limite existe e, caso exista, qual é o seu valor (se não existir, explicar por que).
Passo 2
Usar uma propriedade básica dos logaritmos: para números positivos
e
vale
Aplicando aqui com
e
(ambos positivos para
), obtemos:
Então o limite pedido é equivalente a
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do quociente
quando
. Uma forma intuitiva é fatorar
em cima e embaixo:
Portanto
Passo 4
Agora estude cada termo quando
.
- Sabemos que
: o logaritmo cresce sem limite quando seu argumento tende a infinito. - Para o segundo termo, observe que
e . Logo
Juntando:
Passo 5
Se quiser uma justificativa alternativa (para consolidar a ideia): para
tem-se
, então
Aplicando
obtém-se
e como
segue que o lado esquerdo tende a
. Isso confirma que o limite diverge para
.