Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\mathrm{e}^{-2 x} \cos x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\bigl(\mathrm{e}^{-2x}\cos x\bigr).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e fatos básicos que podemos usar):
  • A função é x\mapsto \mathrm{e}^{-2x}\cos x.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Sabemos que \cos x é uma função oscilante, com valores sempre entre -1 e 1.
  • O fator \mathrm{e}^{-2x} é positivo para todo x e tende a 0 quando x\to+\infty (isso será justificado mais adiante).

Passo 2

Primeiro fato útil sobre o cosseno: para todo x vale a desigualdade
-1 \le \cos x \le 1.
Isto é básico e significa que \cos x é uma função limitada (não cresce para infinito nem para menos infinito).

Passo 3

Como \mathrm{e}^{-2x}>0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade do cosseno por \mathrm{e}^{-2x} sem inverter sinais. Assim obtemos, para todo x,
-\,\mathrm{e}^{-2x} \le \mathrm{e}^{-2x}\cos x \le \mathrm{e}^{-2x}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das funções que aparecem nas bordas da desigualdade. Observe que
\mathrm{e}^{-2x} = \frac{1}{\mathrm{e}^{2x}}.
Como \mathrm{e}^{2x}\to +\infty quando x\to +\infty, a recíproca tende a zero. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-2x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\bigl(-\mathrm{e}^{-2x}\bigr)=0.
(Explicação curta: o exponencial \mathrm{e}^{2x} cresce sem limite quando x\to\infty, logo 1/\mathrm{e}^{2x} converge para 0.)

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do sanduíche): se uma função f(x) está sempre entre duas funções g(x) e h(x) que têm o mesmo limite L quando x\to a, então \lim_{x\to a} f(x)=L. Aqui f(x)=\mathrm{e}^{-2x}\cos x, g(x)=-\mathrm{e}^{-2x}, h(x)=\mathrm{e}^{-2x}, e ambos g e h têm limite 0 quando x\to+\infty. Pelo teorema do confronto, o limite desejado existe e é 0.

Passo 6

Método alternativo (mais direto, mesmo raciocínio): usar a desigualdade do valor absoluto. Para todo x,
\bigl|\mathrm{e}^{-2x}\cos x\bigr| = \mathrm{e}^{-2x}\,|\cos x| \le \mathrm{e}^{-2x}\cdot 1 = \mathrm{e}^{-2x}.
Como \mathrm{e}^{-2x}\to 0, o módulo da função tende a 0; portanto a própria função tende a 0. Isso é um fato geral: se |f(x)|\to 0 então f(x)\to 0.

Resposta

0

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