Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (e fatos básicos que podemos usar):
A função é x\mapsto \mathrm{e}^{-2x}\cos x.
O limite é quando x tende para +\infty.
Sabemos que \cos x é uma função oscilante, com valores sempre entre -1 e 1.
O fator \mathrm{e}^{-2x} é positivo para todo x e tende a 0 quando x\to+\infty (isso será justificado mais adiante).
Passo 2
Primeiro fato útil sobre o cosseno: para todo x vale a desigualdade
-1 \le \cos x \le 1.
Isto é básico e significa que \cos x é uma função limitada (não cresce para infinito nem para menos infinito).
Passo 3
Como \mathrm{e}^{-2x}>0 para todo x, podemos multiplicar a desigualdade do cosseno por \mathrm{e}^{-2x} sem inverter sinais. Assim obtemos, para todo x,
-\,\mathrm{e}^{-2x} \le \mathrm{e}^{-2x}\cos x \le \mathrm{e}^{-2x}.
Passo 4
Agora analisamos os limites das funções que aparecem nas bordas da desigualdade. Observe que
\mathrm{e}^{-2x} = \frac{1}{\mathrm{e}^{2x}}.
Como \mathrm{e}^{2x}\to +\infty quando x\to +\infty, a recíproca tende a zero. Portanto
(Explicação curta: o exponencial \mathrm{e}^{2x} cresce sem limite quando x\to\infty, logo 1/\mathrm{e}^{2x} converge para 0.)
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do sanduíche): se uma função f(x) está sempre entre duas funções g(x) e h(x) que têm o mesmo limite L quando x\to a, então \lim_{x\to a} f(x)=L. Aqui f(x)=\mathrm{e}^{-2x}\cos x, g(x)=-\mathrm{e}^{-2x}, h(x)=\mathrm{e}^{-2x}, e ambos g e h têm limite 0 quando x\to+\infty. Pelo teorema do confronto, o limite desejado existe e é 0.
Passo 6
Método alternativo (mais direto, mesmo raciocínio): usar a desigualdade do valor absoluto. Para todo x,