Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a função racional
. - O ponto onde se aproxima é
.
Não se pede método específico, apenas o valor do limite (ou explicar por que ele não existe).
Passo 2
Primeiro avalio os valores de numerador e denominador no ponto
para ver se temos uma forma determinada ou indeterminada.
Calculo o numerador em :
Calculo o numerador em
Calculo o denominador em
:
Conclusão desta verificação: o numerador tende a
(um número diferente de zero) e o denominador tende a
. Isso indica que a expressão tende a um valor com magnitude muito grande (possivelmente
), não a uma indeterminação do tipo
. Então provavelmente o limite bilateral não é um número real finito.
Passo 3
Para entender o sinal (mais ou menos infinito) precisamos analisar o comportamento do denominador perto de
. Factorizo o denominador:
No ponto
, o fator
vale
(isto é, é negativo e longe de zero), enquanto
tende a
. Portanto o sinal do denominador perto de
é controlado pelo sinal de
, multiplicado por
.
Passo 4
Uma forma clara e muito usada para estudar limites em pontos onde algo tende a zero é escrever
com
. Substituo:
- Quando
, temos e (que ao aproximar fica aproximadamente ).
Agora a expressão fica
Mas para avaliar o sinal e o comportamento de magnitude basta observar que o numerador tende a
enquanto o denominador se comporta como
quando
. Assim, para
pequeno,
Passo 5
Analisando
quando
:
- Se
(ou seja, , aproximando por valores maiores que ), então . - Se
(ou seja, , aproximando por valores menores que ), então .
Portanto os limites laterais da função original são:
Passo 6
Interpretação final com a definição de limite bilateral: para existir
(o limite bilateral) é preciso que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Aqui os limites laterais existem mas são diferentes (um é
e o outro é
). Mesmo que ambos fossem
, um limite que resulte em infinito não é um número real — normalmente dizemos que o limite bilateral “não existe” no conjunto dos números reais. Neste caso os sinais opostos deixam claro que não há nem sequer um infinito comum.
Também podemos dizer que
é uma assíntota vertical da função, já que a função cresce sem limite em módulo ao se aproximar por um dos lados.