Exercício 16. Calcule, se existir, os seguintes limites; caso algum deles não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular o limite
\lim_{x\to -1}\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}.
  • O ponto onde se aproxima é x\to -1.
    Não se pede método específico, apenas o valor do limite (ou explicar por que ele não existe).

Passo 2

Primeiro avalio os valores de numerador e denominador no ponto x=-1 para ver se temos uma forma determinada ou indeterminada.
Calculo o numerador em x=-1:
2(-1)^{2}+(-1)+1 = 2\cdot1-1+1 = 2.
Calculo o denominador em x=-1:
(-1)^{2}-1 = 1-1 = 0.
Conclusão desta verificação: o numerador tende a 2 (um número diferente de zero) e o denominador tende a 0. Isso indica que a expressão tende a um valor com magnitude muito grande (possivelmente \pm\infty), não a uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Então provavelmente o limite bilateral não é um número real finito.

Passo 3

Para entender o sinal (mais ou menos infinito) precisamos analisar o comportamento do denominador perto de x=-1. Factorizo o denominador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
No ponto x=-1, o fator x-1 vale -2 (isto é, é negativo e longe de zero), enquanto x+1 tende a 0. Portanto o sinal do denominador perto de x=-1 é controlado pelo sinal de x+1, multiplicado por -2.

Passo 4

Uma forma clara e muito usada para estudar limites em pontos onde algo tende a zero é escrever x=-1+h com h\to 0. Substituo:
  • Quando x=-1+h, temos x+1=h e x-1=-2+h (que ao aproximar h\to 0 fica aproximadamente -2).
    Agora a expressão fica
\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=\frac{2(-1+h)^{2}+(-1+h)+1}{(-1+h)^{2}-1}.
Mas para avaliar o sinal e o comportamento de magnitude basta observar que o numerador tende a 2 enquanto o denominador se comporta como (-2)\cdot h quando h\to 0. Assim, para h pequeno,
\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}\approx\frac{2}{-2h}=\frac{-1}{h}.

Passo 5

Analisando \dfrac{-1}{h} quando h\to 0:
  • Se h\to 0^{+} (ou seja, x\to -1^{+}, aproximando por valores maiores que -1), então \dfrac{-1}{h}\to -\infty.
  • Se h\to 0^{-} (ou seja, x\to -1^{-}, aproximando por valores menores que -1), então \dfrac{-1}{h}\to +\infty.
Portanto os limites laterais da função original são:
\lim_{x\to -1^{-}}\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^{+}}\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=-\infty.

Passo 6

Interpretação final com a definição de limite bilateral: para existir \lim_{x\to -1} (o limite bilateral) é preciso que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Aqui os limites laterais existem mas são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty). Mesmo que ambos fossem \pm\infty, um limite que resulte em infinito não é um número real — normalmente dizemos que o limite bilateral “não existe” no conjunto dos números reais. Neste caso os sinais opostos deixam claro que não há nem sequer um infinito comum.
Também podemos dizer que x=-1 é uma assíntota vertical da função, já que a função cresce sem limite em módulo ao se aproximar por um dos lados.

Resposta

\text{Não existe (o limite bilateral não existe como número real).}ããú
\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}}\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}}\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}-1}=-\infty

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