Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{\left(u^{2}+1\right)\left(2 u^{2}-1\right)}{\left(u^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{u\to-\infty}\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma razão de polinômios em u.
  • Todas as potências de u aparecem apenas com expoentes pares ( u^{2}, u^{4}, etc.).
  • O ponto em que estamos avaliando o limite é u\to-\infty (ou seja, u tende para menos infinito).
O que é pedido:
  • Determinar o valor do limite quando u vai para -\infty, ou explicar por que o limite não existe.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para limites de razões de polinômios quando u\to\pm\infty, o termo que domina o comportamento é o de maior grau (maior potência de u) no numerador e no denominador. A razão tende para o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau, desde que esses graus sejam iguais; se os graus diferirem, o limite é 0 (grau do numerador menor) ou \pm\infty (grau do numerador maior), dependendo dos sinais.
Aqui, vamos identificar os termos de maior grau em numerador e denominador e proceder de forma formal dividindo numerador e denominador pela maior potência de u presente.

Passo 3

Expandir (ou obter o termo de maior grau) do numerador e do denominador para ver claramente os graus e coeficientes.
Numerador:
(u^{2}+1)(2u^{2}-1)=2u^{4}+u^{2}-1.
Denominador:
(u^{2}+2)^{2}=u^{4}+4u^{2}+4.
Portanto ambos têm grau 4; os termos de maior grau são 2u^{4} no numerador e 1\cdot u^{4} no denominador.

Passo 4

Técnica formal (dividir pelo maior poder): dividir numerador e denominador por u^{4} (que é a maior potência presente). Isso deixa fatores que tendem a 0 quando |u|\to\infty.
\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}} = \frac{2u^{4}+u^{2}-1}{u^{4}+4u^{2}+4} = \frac{u^{4}\!\left(2+\dfrac{1}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{4}}\right)}{u^{4}\!\left(1+\dfrac{4}{u^{2}}+\dfrac{4}{u^{4}}\right)}.
Cancelando u^{4} (que é positivo para u\neq0) obtemos
\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}} = \frac{2+\dfrac{1}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{4}}}{1+\dfrac{4}{u^{2}}+\dfrac{4}{u^{4}}}.

Passo 5

Avaliar o limite dos termos que sobraram quando u\to-\infty. Observações importantes:
  • Para u\to-\infty vale \dfrac{1}{u^{2}}\to 0 e \dfrac{1}{u^{4}}\to 0 porque potências pares de u tornam |u|^{2} e |u|^{4} grandes e o inverso tende a zero.
  • Como todos os termos extras envolvem potências pares, o sinal de u (positivo ou negativo) não afeta esses termos; portanto o comportamento para u\to-\infty é igual ao para u\to+\infty.
Aplicando isso:
\lim_{u\to-\infty}\left(2+\dfrac{1}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{4}}\right)=2, \qquad \lim_{u\to-\infty}\left(1+\dfrac{4}{u^{2}}+\dfrac{4}{u^{4}}\right)=1.
Então a razão tende para 2/1.

Passo 6

Conclusão e interpretação: o limite existe e vale
\lim_{u\to-\infty}\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}}=2.
Intuição curta e amigável: ambos numerador e denominador são dominados por u^{4} quando |u| é grande; o numerador tem coeficiente 2 nesse termo dominante e o denominador tem coeficiente 1, então a razão tende para 2.

Resposta

2

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