Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A função é uma razão de polinômios em
. - Todas as potências de
aparecem apenas com expoentes pares ( , , etc.). - O ponto em que estamos avaliando o limite é
(ou seja, tende para menos infinito).
O que é pedido:
- Determinar o valor do limite quando
vai para , ou explicar por que o limite não existe.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): para limites de razões de polinômios quando
, o termo que domina o comportamento é o de maior grau (maior potência de
) no numerador e no denominador. A razão tende para o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau, desde que esses graus sejam iguais; se os graus diferirem, o limite é
(grau do numerador menor) ou
(grau do numerador maior), dependendo dos sinais.
Aqui, vamos identificar os termos de maior grau em numerador e denominador e proceder de forma formal dividindo numerador e denominador pela maior potência de
presente.
Passo 3
Expandir (ou obter o termo de maior grau) do numerador e do denominador para ver claramente os graus e coeficientes.
Numerador:
Denominador:
Portanto ambos têm grau
; os termos de maior grau são
no numerador e
no denominador.
Passo 4
Técnica formal (dividir pelo maior poder): dividir numerador e denominador por
(que é a maior potência presente). Isso deixa fatores que tendem a
quando
.
Cancelando
(que é positivo para
) obtemos
Passo 5
Avaliar o limite dos termos que sobraram quando
. Observações importantes:
- Para
vale e porque potências pares de tornam e grandes e o inverso tende a zero. - Como todos os termos extras envolvem potências pares, o sinal de
(positivo ou negativo) não afeta esses termos; portanto o comportamento para é igual ao para .
Aplicando isso:
Então a razão tende para
.
Passo 6
Conclusão e interpretação: o limite existe e vale
Intuição curta e amigável: ambos numerador e denominador são dominados por
quando
é grande; o numerador tem coeficiente
nesse termo dominante e o denominador tem coeficiente
, então a razão tende para
.
Resposta
2