Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{6 t^{2}+t-5}{9-2 t^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: calcular \displaystyle \lim_{t\to -\infty} \frac{6 t^{2}+t-5}{9-2 t^{2}}.
  • Dado: uma função racional cujo numerador e denominador são polinômios de grau 2.
  • Informações úteis que ficam claras ao ler o enunciado:
    • Coeficiente do termo de maior grau no numerador: 6 (em 6t^{2}).
    • Coeficiente do termo de maior grau no denominador: -2 (em -2t^{2}).
    • A variável t tende para -\infty (isso importa para termos como 1/t, mas t^{2} é sempre não negativo).

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (passo a passo didático): para limites em que t\to\pm\infty de uma razão de polinômios, os termos de maior grau dominam; podemos dividir numerador e denominador pelo maior poder de t que aparece (aqui t^{2}) para ver claramente o comportamento dos termos menores.
Dividindo numerador e denominador por t^{2} (mostrando cada passo):
\frac{6 t^{2}+t-5}{9-2 t^{2}} = \frac{t^{2}\!\left(6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}\right)}{t^{2}\!\left(-2+\dfrac{9}{t^{2}}\right)} = \frac{6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}}{-2+\dfrac{9}{t^{2}}}.
Explicando por que isso ajuda: quando t\to -\infty temos \dfrac{1}{t}\to 0 e \dfrac{1}{t^{2}}\to 0, porque o denominador (em cada fração) cresce em módulo sem limite; portanto os termos com 1/t e 1/t^{2} desaparecem no limite.

Passo 3

Aplicar o limite aos termos simplificados:
\lim_{t\to -\infty}\left(6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}\right)=6, \qquad \lim_{t\to -\infty}\left(-2+\dfrac{9}{t^{2}}\right)=-2.
Logo, pela propriedade do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero),
\lim_{t\to -\infty}\frac{6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}}{-2+\dfrac{9}{t^{2}}}=\frac{6}{-2}=-3.
Observação didática final: note que, por serem ambos polinômios de mesmo grau e por t^{2} ser a mesma para t\to+\infty ou t\to-\infty, o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau; aqui \dfrac{6}{-2}=-3.

Resposta

-3

Exercícios relacionados