Em cada caso, calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: calcular
. - Dado: uma função racional cujo numerador e denominador são polinômios de grau
. - Informações úteis que ficam claras ao ler o enunciado:
- Coeficiente do termo de maior grau no numerador:
(em ). - Coeficiente do termo de maior grau no denominador:
(em ). - A variável
tende para (isso importa para termos como , mas é sempre não negativo).
- Coeficiente do termo de maior grau no numerador:
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (passo a passo didático): para limites em que
de uma razão de polinômios, os termos de maior grau dominam; podemos dividir numerador e denominador pelo maior poder de
que aparece (aqui
) para ver claramente o comportamento dos termos menores.
Dividindo numerador e denominador por
(mostrando cada passo):
Explicando por que isso ajuda: quando
temos
e
, porque o denominador (em cada fração) cresce em módulo sem limite; portanto os termos com
e
desaparecem no limite.
Passo 3
Aplicar o limite aos termos simplificados:
Logo, pela propriedade do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero),
Observação didática final: note que, por serem ambos polinômios de mesmo grau e por
ser a mesma para
ou
, o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau; aqui
.