Exercício 12. Em cada caso, calcule o limite infinito.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende para pela direita, isto é, . - Para
próximos de e positivos temos , então está bem definida nesse caminho.
O objetivo é encontrar o comportamento (valor finito ou infinidade) dequando se aproxima de por valores positivos.
Passo 2
Uma ferramenta fundamental aqui é o limite clássico
Vou explicar por que isso vale (de forma didática):
- Para
vale a desigualdade geométrica clássica
- Como
e nesse intervalo, da desigualdade acima obtemos, dividindo tudo por ,
Rearranjando a parte útil desta cadeia dá
- Agora, quando
sabemos que . Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos
Esse limite é uma propriedade padrão de funções trigonométricas e é muito usada em limites envolvendo
próximo de
.
Passo 3
Usamos uma identidade algébrica útil com logaritmo: para
próximo de
temos
, então, aplicando
(que é definida para argumentos positivos) obtemos
Essa decomposição é muito prática: separa a parte que tende para
(provavelmente
) da parte que tende para um valor finito (a segunda parcela).
Passo 4
Avaliar separadamente as duas parcelas do lado direito.
- Para a primeira parcela:
Explicação didática: a função
é crescente e
. Valores de
cada vez mais pequenos (positivos) correspondem a
cada vez mais negativos; por exemplo,
quando
. Formalmente, para todo
existe
tal que
implica
. Portanto o limite é
.
- Para a segunda parcela, usando o limite do Passo 2:
A função
é contínua em
, logo
Passo 5
Juntando as duas informações da decomposição do Passo 3:
Interpretando: somar um número finito (aqui
) a
mantém a divergência para
.