Exercício 12. Em cada caso, calcule o limite infinito.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \ln(\sin x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende para 0 pela direita, isto é, x\to 0^{+}.
  • Para x próximos de 0 e positivos temos \sin x>0, então \ln(\sin x) está bem definida nesse caminho.
    O objetivo é encontrar o comportamento (valor finito ou infinidade) de \ln(\sin x) quando x se aproxima de 0 por valores positivos.

Passo 2

Uma ferramenta fundamental aqui é o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Vou explicar por que isso vale (de forma didática):
  • Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\sin x < x < \tan x.
  • Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \cos x>0 nesse intervalo, da desigualdade acima obtemos, dividindo tudo por x>0,
\frac{\sin x}{x} < 1 < \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Rearranjando a parte útil desta cadeia dá
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
  • Agora, quando x\to 0 sabemos que \cos x\to 1. Pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Esse limite é uma propriedade padrão de funções trigonométricas e é muito usada em limites envolvendo \sin x próximo de 0.

Passo 3

Usamos uma identidade algébrica útil com logaritmo: para x próximo de 0^{+} temos \sin x=x\cdot\frac{\sin x}{x}, então, aplicando \ln (que é definida para argumentos positivos) obtemos
\ln(\sin x)=\ln\!\left(x\cdot\frac{\sin x}{x}\right)=\ln x + \ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right).
Essa decomposição é muito prática: separa a parte que tende para -\infty (provavelmente \ln x) da parte que tende para um valor finito (a segunda parcela).

Passo 4

Avaliar separadamente as duas parcelas do lado direito.
  1. Para a primeira parcela:
\lim_{x\to 0^{+}} \ln x = -\infty.
Explicação didática: a função \ln é crescente e \lim_{x\to 0^{+}} x=0^{+}. Valores de x cada vez mais pequenos (positivos) correspondem a \ln x cada vez mais negativos; por exemplo, \ln(10^{-n})=-n\ln 10\to -\infty quando n\to\infty. Formalmente, para todo M<0 existe \delta>0 tal que 0<x<\delta implica \ln x<M. Portanto o limite é -\infty.
  1. Para a segunda parcela, usando o limite do Passo 2:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{x}=1.
A função \ln é contínua em 1, logo
\lim_{x\to 0^{+}} \ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\ln(1)=0.

Passo 5

Juntando as duas informações da decomposição do Passo 3:
\lim_{x\to 0^{+}} \ln(\sin x)=\lim_{x\to 0^{+}}\bigl(\ln x\bigr)+\lim_{x\to 0^{+}}\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)=(-\infty)+0=-\infty.
Interpretando: somar um número finito (aqui 0) a -\infty mantém a divergência para -\infty.

Resposta

-\infty

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