Em cada caso, calcule o produto de matrizes indicado.
\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ 0 & 1 \\\\ -4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto entre duas matrizes. As informações dadas são:
  • Um vetor linha R=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -6\end{array}\right], que é uma matriz de dimensão 1\times3.
  • Uma matriz A=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] -4 & 5\end{array}\right], que é de dimensão 3\times2.
    A operação pedida é o produto R\cdot A. Como o número de colunas de R ( 3) coincide com o número de linhas de A ( 3), o produto é bem definido e o resultado terá dimensão 1\times2. O objetivo final é calcular essa matriz 1\times2.]

Passo 2

Como calcular o produto R\cdot A:
  • Denotando R=\left[\begin{array}{ccc}r_1 & r_2 & r_3\end{array}\right] e A=\left[a_{ij}\right]_{3\times2}, o produto R\cdot A é o vetor linha cujas entradas são produtos escalares (dot products) entre R e as colunas de A.
  • Formalmente, a primeira componente do resultado é
(R\cdot A)_1 = r_1 a_{11} + r_2 a_{21} + r_3 a_{31},
e a segunda componente é
(R\cdot A)_2 = r_1 a_{12} + r_2 a_{22} + r_3 a_{32}.
  • Interpretação intuitiva: cada entrada do resultado é a soma dos produtos termo a termo entre os elementos do vetor linha e os elementos da coluna correspondente de A.
    Agora vamos aplicar isso com os números dados: r_1=1, r_2=3, r_3=-6. As colunas de A são \begin{bmatrix}2\\\ 0\\\ -4\end{bmatrix} e \begin{bmatrix}-3\\\ 1\\\ 5\end{bmatrix} (peguei esses vetores da matriz A fornecida).

Passo 3

Calcular a primeira componente do produto, que é o produto escalar entre R e a primeira coluna de A:
(R\cdot A)_1 = 1\cdot 2 + 3\cdot 0 + (-6)\cdot(-4).
Agora executando cada multiplicação e somando:
1\cdot 2 = 2,\qquad 3\cdot 0 = 0,\qquad (-6)\cdot(-4)=24.
Somando:
(R\cdot A)_1 = 2 + 0 + 24 = 26.

Passo 4

Calcular a segunda componente do produto, que é o produto escalar entre R e a segunda coluna de A:
(R\cdot A)_2 = 1\cdot(-3) + 3\cdot 1 + (-6)\cdot 5.
Executando cada multiplicação e somando:
1\cdot(-3) = -3,\qquad 3\cdot 1 = 3,\qquad (-6)\cdot 5 = -30.
Somando:
(R\cdot A)_2 = -3 + 3 - 30 = -30.

Passo 5

Juntando as duas componentes obtidas, o produto R\cdot A é o vetor linha
R\cdot A = \left[\begin{array}{rr}26 & -30\end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{rr}26 & -30\end{array}\right]

Exercícios relacionados