Em cada caso, calcule o produto de matrizes indicado.
\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das duas matrizes dadas. As informações fornecidas são:
  • A primeira matriz é a coluna \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right], que é uma matriz de tamanho 3\times1.
  • A segunda matriz é a linha \left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right], que é uma matriz de tamanho 1\times3.
    O que se quer é o produto dessa coluna pela linha, ou seja, a matriz resultante \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right].

Passo 2

Regra importante para multiplicação de matrizes:
  • Se A tem tamanho m\times n e B tem tamanho n\times p, então o produto AB está definido e tem tamanho m\times p.
  • A entrada genérica do produto é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.
No nosso caso n=1 (a primeira matriz tem 1 coluna e a segunda tem 1 linha), então a soma tem apenas um termo. Isso significa que o produto é o chamado produto externo (outer product): cada elemento da matriz resultante é simplesmente o produto do componente correspondente da coluna pelo componente correspondente da linha.

Passo 3

Nomeando componentes para ficar claro:
  • Seja \displaystyle u=\begin{pmatrix}u_1\u_2\u_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ -5\\\ 2\end{pmatrix}. Então u_1=3, u_2=-5, u_3=2.
  • Seja \displaystyle v^\top=(v_1\\ v_2\\ v_3)=(5\\\ 9\\\ -3). Então v_1=5, v_2=9, v_3=-3.
    O produto u\,v^\top terá tamanho 3\times3 e a entrada (i,j) será u_i v_j.

Passo 4

Calculemos linha a linha (cada linha é u_i multiplicando toda a linha v^\top).
Primeira linha ( i=1, u_1=3):
3\cdot 5 = 15,\qquad 3\cdot 9 = 27,\qquad 3\cdot(-3) = -9.
Portanto a primeira linha da matriz resultante é \bigl[15\\\ 27\\\ -9\bigr].

Passo 5

Segunda linha ( i=2, u_2=-5):
-5\cdot 5 = -25,\qquad -5\cdot 9 = -45,\qquad -5\cdot(-3) = 15.
Portanto a segunda linha da matriz resultante é \bigl[-25\\\ -45\\\ 15\bigr].

Passo 6

Terceira linha ( i=3, u_3=2):
2\cdot 5 = 10,\qquad 2\cdot 9 = 18,\qquad 2\cdot(-3) = -6.
Portanto a terceira linha da matriz resultante é \bigl[10\\\ 18\\\ -6\bigr].

Passo 7

Juntando as três linhas, a matriz produto \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right] é a matriz 3\times3 cujas entradas já calculamos.

Resposta

\left[\begin{array}{rrr} 15 & 27 & -9\\[4pt] -25 & -45 & 15\\[4pt] 10 & 18 & -6 \end{array}\right]]

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