Em cada caso, calcule o produto de matrizes indicado. \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto das duas matrizes dadas. As informações fornecidas são:
A primeira matriz é a coluna \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right], que é uma matriz de tamanho 3\times1.
A segunda matriz é a linha \left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right], que é uma matriz de tamanho 1\times3.
O que se quer é o produto dessa coluna pela linha, ou seja, a matriz resultante \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right].
Passo 2
Regra importante para multiplicação de matrizes:
Se A tem tamanho m\times n e B tem tamanho n\times p, então o produto AB está definido e tem tamanho m\times p.
A entrada genérica do produto é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.
No nosso caso n=1 (a primeira matriz tem 1 coluna e a segunda tem 1 linha), então a soma tem apenas um termo. Isso significa que o produto é o chamado produto externo (outer product): cada elemento da matriz resultante é simplesmente o produto do componente correspondente da coluna pelo componente correspondente da linha.
Passo 3
Nomeando componentes para ficar claro:
Seja \displaystyle u=\begin{pmatrix}u_1\u_2\u_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ -5\\\ 2\end{pmatrix}. Então u_1=3, u_2=-5, u_3=2.
Seja \displaystyle v^\top=(v_1\\ v_2\\ v_3)=(5\\\ 9\\\ -3). Então v_1=5, v_2=9, v_3=-3.
O produto u\,v^\top terá tamanho 3\times3 e a entrada (i,j) será u_i v_j.
Passo 4
Calculemos linha a linha (cada linha é u_i multiplicando toda a linha v^\top).
Portanto a terceira linha da matriz resultante é \bigl[10\\\ 18\\\ -6\bigr].
Passo 7
Juntando as três linhas, a matriz produto \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}5 & 9 & -3\end{array}\right] é a matriz 3\times3 cujas entradas já calculamos.