Em cada caso, dar as equações vetoriais da reta que passa por A e tem a direção do vetor v , nas formas paramétricas e simétricas:
\mathrm{A}=(1,3), \mathrm{v}=(2,1)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A=(1,3) com direção dada por \mathbf{v}=(2,1). Vamos usar o conceito de equação vetorial da reta, depois extrair a forma paramétrica e, por fim, a forma simétrica.

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto A e tem vetor diretor \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OA} + t\,\mathbf{v}.
Substituindo \overrightarrow{OA}=(1,3) e \mathbf{v}=(2,1), obtemos
\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para passar à forma paramétrica, escrevemos as componentes de \mathbf{r}(t) como equações em x e y:
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 3 + t. \end{cases}

Passo 4

Para obter a forma simétrica, eliminamos o parâmetro t. De x = 1 + 2t temos t = \frac{x-1}{2}. De y = 3 + t temos t = y-3. Igualando, fica
\frac{x-1}{2} = y-3,
ou, de modo mais simétrico,
\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1}.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + t\,\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}
Forma paramétrica:
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 3 + t \end{cases}
Forma simétrica:
\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1}

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