Obter x de modo que os pontos \mathrm{A}(5,4), \mathrm{B}(\mathrm{x}, 2) e \mathrm{C}(4,-2) sejam vértices de um triângulo retângulo em B .

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(5,4), B(x,2) e C(4,-2) e pede os valores de x para que o ângulo em B seja reto. O conteúdo aqui é geometria analítica: usamos o produto escalar para verificar se os vetores que partem de B são perpendiculares.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de B:
\overrightarrow{BA} = A - B = (5 - x,\;4 - 2) = (5 - x,\;2),
\overrightarrow{BC} = C - B = (4 - x,\;-2 - 2) = (4 - x,\;-4).

Passo 3

Para que o ângulo em B seja reto, basta que
\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0.
Isso dá
(5 - x)(4 - x) + 2 \cdot (-4) = 0.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(5 - x)(4 - x) - 8 = 0
20 - 5x - 4x + x^2 - 8 = 0
x^2 - 9x + 12 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{9 \pm \sqrt{9^2 - 4\cdot1\cdot12}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}.

Resposta

x = \frac{9 + \sqrt{33}}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}.

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