Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
Se \operatorname{det}(A)=0, então A possui duas linhas idênticas.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar se a seguinte afirmação é verdadeira ou, caso seja falsa, dar um exemplo que a contradiga. A afirmação é:
“Se \det(A)=0, então A possui duas linhas idênticas.”
Informações dadas:
A é uma matriz quadrada qualquer.
A única hipótese é que \det(A)=0.
O que precisa ser entregue: ou uma demonstração lógica de que a afirmação vale para toda matriz quadrada A, ou um contraexemplo (uma matriz quadrada A com \det(A)=0 e sem duas linhas idênticas).
Passo 2
Vamos lembrar um fato fundamental sobre determinantes e linhas de uma matriz, explicado passo a passo.
Definição (dependência linear de linhas). Dizemos que as linhas \ell_1,\dots,\ell_n de uma matriz quadrada n\times n são linearmente dependentes se existem escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n, nem todos zero, tais que
Isto significa que pelo menos uma linha pode ser escrita como combinação linear das outras.
Fato importante (relacionamento com o determinante). Para uma matriz quadrada A de ordem n vale:
\det(A)\neq 0 se e somente se as linhas de A são linearmente independentes (ou seja, A é invertível).
Consequentemente, \det(A)=0 se e somente se as linhas de A são linearmente dependentes.
Explicação didática rápida do porquê disso: se as linhas são dependentes, a transformação linear associada a A não é injetora, então A não tem inversa e seu determinante é zero. Inversamente, se \det(A)=0 então A não é invertível e, pela teoria de espaços vetoriais (posto da matriz menor que n), as linhas são dependentes.
Observação: dependência linear não é o mesmo que ter duas linhas iguais. Dependência linear apenas diz que existe uma relação linear não trivial entre as linhas.
Passo 3
Agora vou mostrar por que a existência de dependência linear (equivalente a \det(A)=0) não implica — em geral — que existam duas linhas idênticas.
Considere o caso mais simples, matrizes 2\times 2. Se as duas linhas \ell_1 e \ell_2 são linearmente dependentes, então existe um escalar k tal que
\ell_2 = k\,\ell_1.
Isto inclui dois subcasos:
k=1: então \ell_2=\ell_1 (linhas idênticas).
k\neq 1: então \ell_2 é múltiplo escalar de \ell_1, mas não é igual a \ell_1.
Logo, já no caso 2\times 2 é possível ter dependência linear (e, portanto, determinante zero) sem que as linhas sejam idênticas, bastando que uma linha seja um múltiplo escalar diferente de 1 da outra.
Passo 4
Vamos dar um contraexemplo concreto e calcular o determinante para verificar.
As duas linhas são (1,2) e (2,4). Essas linhas não são idênticas (pois (2,4)\neq(1,2)), mas a segunda é 2 vezes a primeira, ou seja, são linearmente dependentes.
Calcule o determinante:
\det(A)=1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 4-4=0.
Portanto \det(A)=0 e, ainda assim, A não possui duas linhas idênticas. Isso é exatamente um contraexemplo à afirmação do enunciado.]
Passo 5
Comentário final para fixar a ideia: a propriedade verdadeira é "se A possui duas linhas idênticas, então \det(A)=0". Essa implicação é correta porque determinante é alternante (trocar duas linhas muda o sinal) e ter duas linhas iguais força \det(A)=0. A recíproca, entretanto, é falsa: \det(A)=0 apenas garante dependência linear das linhas, que é mais geral que ter duas linhas iguais.
Resposta
Falsa. Contraexemplo: \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}, tem \det(A)=0 e suas linhas (1,2) e (2,4) não são idênticas.