Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
Se A é invertível, então \operatorname{det}\left(A^{-1} B A\right)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são matrizes quadradas e afirma: "Se A é invertível, então \operatorname{det}\!\big(A^{-1} B A\big)=\operatorname{det}(B)".\n
O que se pede: demonstrar que essa afirmação é verdadeira ou dar um contraexemplo mostrando que é falsa. Neste caso, a expressão \operatorname{det}\!\big(A^{-1} B A\big) só faz sentido quando A é invertível (pois aparece A^{-1}), e o enunciado já assume isso. Portanto a tarefa é provar a igualdade sob a hipótese de que A é invertível.

Passo 2

Vou recordar duas propriedades fundamentais dos determinantes que usarei — e explicar por que elas valem, de forma didática e com exemplos pequenos.
Propriedade 1 (multiplicatividade): para matrizes quadradas de mesma ordem vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\,\operatorname{det}(Y).
Interpretação intuitiva: o determinante mede o fator de escala de volume (ou área em 2D) associado à transformação linear representada por uma matriz. Compor duas transformações corresponde a multiplicar os fatores de escala, logo os determinantes se multiplicam. Formalmente essa propriedade pode ser provada a partir da definição do determinante (soma de permutações, fórmula de Leibniz) ou por argumentos algébricos sobre funções multilineares alternadas.
Exemplo concreto em 2\times2 (para ficar mais concreto): para
X=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix},
tem-se \operatorname{det}(X)=1\cdot4-2\cdot3=-2 e \operatorname{det}(Y)=0\cdot0-1\cdot(-1)=1. Calculando XY e seu determinante dá o mesmo produto \operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y)=-2\cdot1=-2. (Isso ilustra, sem provar formalmente, que a propriedade funciona na prática.)
Propriedade 2 (determinante da inversa): se A é invertível então
\operatorname{det}\big(A^{-1}\big)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}.
Explicação rápida: como A A^{-1}=I, aplicando a multiplicatividade obtemos
\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\big(A^{-1}\big)=\operatorname{det}(I).
E \operatorname{det}(I)=1 (a transformação identidade deixa volumes inalterados), daí o resultado.]

Passo 3

Agora aplico essas propriedades ao determinante pedido. Quero calcular \operatorname{det}\!\big(A^{-1} B A\big). Usando a multiplicatividade do determinante para o produto de três matrizes (aplica-se iterativamente), obtemos:
\operatorname{det}\!\big(A^{-1} B A\big) =\operatorname{det}\!\big(A^{-1}\big)\,\operatorname{det}(B)\,\operatorname{det}(A).

Passo 4

Como A é invertível, uso a Propriedade 2 para substituir \operatorname{det}\big(A^{-1}\big) por 1/\operatorname{det}(A). Assim
\operatorname{det}\!\big(A^{-1}\big)\,\operatorname{det}(A) =\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\cdot\operatorname{det}(A)=1.
Portanto da expressão do Passo 3 segue imediatamente
\operatorname{det}\!\big(A^{-1} B A\big)=\operatorname{det}(B).

Passo 5

Conclusão conceitual e observação: a igualdade significa que o determinante é invariante por conjugação (ou seja, invariante por transformações de similaridade). Em linguagem linear, matrizes similares representam a mesma transformação linear em bases diferentes, e o determinante (fator de escala de volumes) não depende da escolha da base. A hipótese de invertibilidade de A é necessária apenas para que A^{-1} exista e a expressão faça sentido; se A não for invertível a expressão \operatorname{det}(A^{-1}BA) não está definida.

Passo 6

Exemplo numérico para intuir a igualdade (verificação concreta): tome
A=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\end{pmatrix}.
Temos \operatorname{det}(B)=1\cdot4-2\cdot3=-2. Calcule A^{-1}BA:
A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&0\\[4pt]0&1/3\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&6\\[4pt]6&12\end{pmatrix},
A^{-1}BA=\begin{pmatrix}1&3\\[4pt]2&4\end{pmatrix},
e \operatorname{det}\!\big(A^{-1}BA\big)=1\cdot4-3\cdot2=-2, igual a \operatorname{det}(B). Isso confirma concretamente o que a prova teórica mostrou.]

Resposta

\operatorname{det}\!\big(A^{-1}BA\big)=\operatorname{det}(B)

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