Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens,
e
são matrizes quadradas.
Se
é invertível, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são matrizes quadradas e afirma: "Se
é invertível, então
".\n
O que se pede: demonstrar que essa afirmação é verdadeira ou dar um contraexemplo mostrando que é falsa. Neste caso, a expressão só faz sentido quando
é invertível (pois aparece
), e o enunciado já assume isso. Portanto a tarefa é provar a igualdade sob a hipótese de que
é invertível.
O que se pede: demonstrar que essa afirmação é verdadeira ou dar um contraexemplo mostrando que é falsa. Neste caso, a expressão
Passo 2
Vou recordar duas propriedades fundamentais dos determinantes que usarei — e explicar por que elas valem, de forma didática e com exemplos pequenos.
Propriedade 1 (multiplicatividade): para matrizes quadradas de mesma ordem vale
Interpretação intuitiva: o determinante mede o fator de escala de volume (ou área em 2D) associado à transformação linear representada por uma matriz. Compor duas transformações corresponde a multiplicar os fatores de escala, logo os determinantes se multiplicam. Formalmente essa propriedade pode ser provada a partir da definição do determinante (soma de permutações, fórmula de Leibniz) ou por argumentos algébricos sobre funções multilineares alternadas.
Exemplo concreto em
(para ficar mais concreto): para
tem-se
e
. Calculando
e seu determinante dá o mesmo produto
. (Isso ilustra, sem provar formalmente, que a propriedade funciona na prática.)
Propriedade 2 (determinante da inversa): se
é invertível então
Explicação rápida: como
, aplicando a multiplicatividade obtemos
E
(a transformação identidade deixa volumes inalterados), daí o resultado.]
Passo 3
Agora aplico essas propriedades ao determinante pedido. Quero calcular
. Usando a multiplicatividade do determinante para o produto de três matrizes (aplica-se iterativamente), obtemos:
Passo 4
Como
é invertível, uso a Propriedade 2 para substituir
por
. Assim
Portanto da expressão do Passo 3 segue imediatamente
Passo 5
Conclusão conceitual e observação: a igualdade significa que o determinante é invariante por conjugação (ou seja, invariante por transformações de similaridade). Em linguagem linear, matrizes similares representam a mesma transformação linear em bases diferentes, e o determinante (fator de escala de volumes) não depende da escolha da base. A hipótese de invertibilidade de
é necessária apenas para que
exista e a expressão faça sentido; se
não for invertível a expressão
não está definida.
Passo 6
Exemplo numérico para intuir a igualdade (verificação concreta): tome
Temos
. Calcule
:
e
, igual a
. Isso confirma concretamente o que a prova teórica mostrou.]