Em cada caso, desenhe as curvas de nível da função f para os valores dados de c :
(b) f(x, y)=x^{2}+y^{2}-1, c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função f para certos valores de c. Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1
Os valores de c pedidos são c=-1,\;0,\;1.
A tarefa é, para cada c dado, determinar e desenhar o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

Definição e formação da equação das curvas de nível (aula rápida):
Uma curva de nível para uma função de duas variáveis f(x,y) e um escalar c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
Aqui substituímos f(x,y) por sua expressão:
x^{2}+y^{2}-1=c.
Rearranjando, obtemos a equação característica das curvas de nível desta função:
x^{2}+y^{2}=1+c.
Essa equação é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) com raio \sqrt{1+c}, desde que 1+c\ge 0. Vou explicar por que: a equação padrão de um círculo centrado em (0,0) é \,x^{2}+y^{2}=R^{2}\,, onde R é o raio; comparar com x^{2}+y^{2}=1+c R=\sqrt{1+c}.

Passo 3

Condição de existência e interpretação:
  • Se 1+c>0 então a curva de nível é um círculo de raio R=\sqrt{1+c}.
  • Se 1+c=0 então R=0 e a “curva” é o ponto único (0,0).
  • Se 1+c<0 então não existe ponto real satisfazendo a equação (não há curva de nível real).
Vou aplicar isso aos três valores pedidos.

Passo 4

Caso c=-1:
Calcule 1+c:
1+(-1)=0.
Logo a equação das curvas de nível fica
x^{2}+y^{2}=0.
Isso só é satisfeito por x=0 e y=0 simultaneamente, ou seja, a curva de nível é apenas o ponto (0,0). Ao desenhar, marque um ponto na origem e rotule como c=-1.

Passo 5

Caso c=0:
Calcule 1+c:
1+0=1.
Então a curva de nível é
x^{2}+y^{2}=1,
um círculo centrado em (0,0) de raio R=\sqrt{1}=1. Ao desenhar, trace um círculo de raio 1 ao redor da origem e rotule como c=0.

Passo 6

Caso c=1:
Calcule 1+c:
1+1=2.
A curva de nível é
x^{2}+y^{2}=2,
um círculo centrado em (0,0) de raio R=\sqrt{2}. Ao desenhar, trace um círculo maior com raio \sqrt{2} e rotule como c=1.

Passo 7

Instruções práticas para desenhar (dicas de prova e de papel):
  • Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  • Marque um círculo de raio 1 (por exemplo, usando escala: 1 unidade = 1 cm).
  • Para o raio \sqrt{2} lembre que \sqrt{2}\approx 1,414; marque esse valor no mesmo eixo e desenhe o círculo maior.
  • Para c=-1 coloque um ponto na origem.
  • Identifique os três traços como círculos concêntricos (mesmo centro) e rotule cada um com o valor de c.
  • Observação útil: para quaisquer c<-1 não haveria curva real (porque daria 1+c<0). Isso ajuda a interpretar toda a família de curvas de nível de f.

Resposta

c=-1:\;x^{2}+y^{2}=0\quad(\text{o ponto }(0,0))
c=0:\;x^{2}+y^{2}=1\quad(\text{círculo de raio }1\text{ centrado em }(0,0))í
c=1:\;x^{2}+y^{2}=2\quad(\text{círculo de raio }\sqrt{2}\text{ centrado em }(0,0))í

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