Em cada caso, desenhe as curvas de nível da função
para os valores dados de
:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
para certos valores de
. Informações dadas:
Os valores de
pedidos são
.
A tarefa é, para cada dado, determinar e desenhar o conjunto de pontos
tais que
.
A tarefa é, para cada
Passo 2
Definição e formação da equação das curvas de nível (aula rápida):
Uma curva de nível para uma função de duas variáveis e um escalar
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Uma curva de nível para uma função de duas variáveis
Aqui substituímos
por sua expressão:
Rearranjando, obtemos a equação característica das curvas de nível desta função:
Essa equação é a equação de um círculo centrado na origem
com raio
, desde que
. Vou explicar por que: a equação padrão de um círculo centrado em
é
, onde
é o raio; comparar com
dá
.
Passo 3
Condição de existência e interpretação:
- Se
então a curva de nível é um círculo de raio . - Se
então e a “curva” é o ponto único . - Se
então não existe ponto real satisfazendo a equação (não há curva de nível real).
Vou aplicar isso aos três valores pedidos.
Passo 4
Caso
:
Calcule :
Calcule
Logo a equação das curvas de nível fica
Isso só é satisfeito por
e
simultaneamente, ou seja, a curva de nível é apenas o ponto
. Ao desenhar, marque um ponto na origem e rotule como
.
Passo 5
Caso
:
Calcule :
Calcule
Então a curva de nível é
um círculo centrado em
de raio
. Ao desenhar, trace um círculo de raio 1 ao redor da origem e rotule como
.
Passo 6
Caso
:
Calcule :
Calcule
A curva de nível é
um círculo centrado em
de raio
. Ao desenhar, trace um círculo maior com raio
e rotule como
.
Passo 7
Instruções práticas para desenhar (dicas de prova e de papel):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - Marque um círculo de raio
(por exemplo, usando escala: 1 unidade = 1 cm). - Para o raio
lembre que ; marque esse valor no mesmo eixo e desenhe o círculo maior. - Para
coloque um ponto na origem. - Identifique os três traços como círculos concêntricos (mesmo centro) e rotule cada um com o valor de
. - Observação útil: para quaisquer
não haveria curva real (porque daria ). Isso ajuda a interpretar toda a família de curvas de nível de .