Em cada caso, desenhe as curvas de nível da função f para os valores dados de c :
(c) f(x, y)=3 x-7, c=-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe as curvas de nível da função f para certos valores de c. Informações dadas:
f(x,y)=3x-7
Valores pedidos: c=-1,\;0,\;1,\;2.
Então a tarefa é, para cada um desses valores de c, encontrar e desenhar a curva no plano (x,y) onde f(x,y)=c.

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida): uma curva de nível para um valor \,c, é o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
No exame você faz exatamente isso: substitui f(x,y) por c e resolve a equação para expressar a curva (pode ser uma reta, uma circunferência, etc.). Aqui vou resolver a equação e identificar o tipo de curva que aparece.

Passo 3

Faço a equação de nível aplicando f(x,y)=c:
3x-7=c.
Agora resolvo essa equação para uma das variáveis. Como só aparece x, isolo x:
3x = c+7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{c+7}{3}.
Interpretação do que isso significa: a solução não depende de y. Ou seja, para cada valor de c obtemos uma reta vertical no plano, dada por x= constante.

Passo 4

Como desenhar na prática (dica para a prova): uma reta vertical x=a pode ser desenhada marcando dois ou mais pontos com a mesma abscissa a e ligando-os verticalmente. Exemplos simples de pontos para desenhar são (a,0) e (a,1) ou (a,-1). Também é útil calcular a distância horizontal entre retas correspondentes a valores consecutivos de c: differentiatei x=(c+7)/3 em relação a c e obtive \mathrm{d}x/\mathrm{d}c=1/3, ou seja, aumentar c em 1 desloca a reta 1/3 para a direita.

Passo 5

Caso c=-1. Uso a fórmula x=(c+7)/3:
x=\frac{-1+7}{3}=\frac{6}{3}=2.
Curva de nível: reta vertical x=2. Dois pontos para desenhar: (2,0) e (2,1).

Passo 6

Caso c=0. Calculo
x=\frac{0+7}{3}=\frac{7}{3}.
Curva de nível: reta vertical x=\tfrac{7}{3}. Dois pontos para desenhar: \bigl(\tfrac{7}{3},0\bigr) e \bigl(\tfrac{7}{3},1\bigr).

Passo 7

Caso c=1. Calculo
x=\frac{1+7}{3}=\frac{8}{3}.
Curva de nível: reta vertical x=\tfrac{8}{3}. Dois pontos para desenhar: \bigl(\tfrac{8}{3},0\bigr) e \bigl(\tfrac{8}{3},1\bigr).

Passo 8

Caso c=2. Calculo
x=\frac{2+7}{3}=\frac{9}{3}=3.
Curva de nível: reta vertical x=3. Dois pontos para desenhar: (3,0) e (3,1).

Passo 9

Observações finais úteis para a prova:
  • Todas as curvas são retas verticais porque f não depende de y.
  • As retas estão em posições x=\dfrac{c+7}{3}. Para os valores dados elas ficam, em ordem crescente de c, em x=2,\;x=\tfrac{7}{3},\;x=\tfrac{8}{3},\;x=3.
  • O espaçamento horizontal entre retas para variações unitárias de c é constante e igual a \tfrac{1}{3}.
  • Para desenhar, marque as abscissas indicadas no eixo x e trace linhas verticais passando por essas abscissas.

Resposta

c=-1:\;x=2\n
c=0:\;x=\tfrac{7}{3}\n
c=1:\;x=\tfrac{8}{3}\n
c=2:\;x=3

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