Em cada caso, desenhe as curvas de nível da função
para os valores dados de
:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
para os valores
Informações dadas: a função é e os valores de nível (constantes) são
Observação importante que vem do enunciado: queremos, para cada , o conjunto de pontos
tais que
Informações dadas: a função é
Observação importante que vem do enunciado: queremos, para cada
Passo 2
Escrevemos a equação da curva de nível: queremos resolver
Isto vem da definição de curva de nível: para um dado
a curva de nível é o conjunto
Passo 3
Analise geral da equação
Para todo número real vale
Portanto, se
não existe número real
que satisfaça
Conclusão imediata:
não há pontos reais — a curva de nível é o conjunto vazio.
Para todo número real
Passo 4
Caso
A equação fica
Aqui
é livre (não aparece na equação), então todos os pontos com coordenada
pertencem à curva. Geometricamente, isso é a reta horizontal
ou seja, o próprio eixo
Passo 5
Caso
Tomando raiz quadrada em
obtemos
De novo
é livre, então cada solução
e
corresponde a uma reta horizontal inteira. Para o caso específico
obtemos
isto é, duas retas horizontais paralelas.
Passo 6
Como desenhar na prática (passo a passo para a prova): desenhe os eixos
e
.
- Para
: não desenhe nada (não existe ponto real que satisfaça). - Para
: desenhe a reta horizontal no nível (eixo ). - Para
: desenhe duas retas horizontais, uma em e outra em .
Marque as retas com rótulose observe que cada reta se estende para
Passo 7
Resumo conceitual rápido e dica de prova: sempre que a função depender só de uma variável (aqui só de
), as curvas de nível serão formas paralelas (aqui retas horizontais), porque a outra coordenada (
) fica livre. Se a expressão for não negativa (como
), níveis negativos dão conjunto vazio.