Em cada caso, desenhe as curvas de nível da função f para os valores dados de c :
(h) f(x, y)=y^{2}, c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função \,f(x,y)=y^{2}\, para os valores \,c=-1,\,0,\,1.\,
Informações dadas: a função é \,f(x,y)=y^{2}\, e os valores de nível (constantes) são \,c=-1,\,0,\,1.\,
Observação importante que vem do enunciado: queremos, para cada \,c\,, o conjunto de pontos (x,y) tais que \,f(x,y)=c.

Passo 2

Escrevemos a equação da curva de nível: queremos resolver
y^{2}=c.
Isto vem da definição de curva de nível: para um dado \,c, a curva de nível é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.

Passo 3

Analise geral da equação \,y^{2}=c.
Para todo número real \,y vale \,y^{2}\ge 0. Portanto, se \,c<0 não existe número real \,y que satisfaça \,y^{2}=c. Conclusão imediata:
\,c<0\Rightarrow não há pontos reais — a curva de nível é o conjunto vazio.

Passo 4

Caso \,c=0. A equação fica
y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Aqui \,x é livre (não aparece na equação), então todos os pontos com coordenada y=0 pertencem à curva. Geometricamente, isso é a reta horizontal \,y=0, ou seja, o próprio eixo x.

Passo 5

Caso \,c>0. Tomando raiz quadrada em \,y^{2}=c obtemos
y=\pm\sqrt{c}.
De novo \,x é livre, então cada solução \,y=+\sqrt{c} e \,y=-\sqrt{c} corresponde a uma reta horizontal inteira. Para o caso específico \,c=1 obtemos
y=+1\quad\text{e}\quad y=-1,
isto é, duas retas horizontais paralelas.

Passo 6

Como desenhar na prática (passo a passo para a prova): desenhe os eixos x e y.
  • Para \,c=-1: não desenhe nada (não existe ponto real que satisfaça).
  • Para \,c=0: desenhe a reta horizontal no nível y=0 (eixo x).
  • Para \,c=1: desenhe duas retas horizontais, uma em y=1 e outra em y=-1.
    Marque as retas com rótulos \,y=0,\\ y=1,\\ y=-1 e observe que cada reta se estende para \,x\to\pm\infty.

Passo 7

Resumo conceitual rápido e dica de prova: sempre que a função depender só de uma variável (aqui só de y), as curvas de nível serão formas paralelas (aqui retas horizontais), porque a outra coordenada ( x) fica livre. Se a expressão for não negativa (como y^{2}), níveis negativos dão conjunto vazio.

Resposta

c=-1: conjunto vazio (nenhuma curva).\n c=0: reta horizontal y=0 (eixo x).\n c=1: retas horizontais y=1 e y=-1.

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