Em cada caso, determine a área de um segmento circular em que a medida do raio é r e o ângulo central mede
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos. Em cada item pede-se a área do segmento circular determinado por um arco de círculo de raio
e ângulo central
.
Dados (peguei-os do enunciado):
- (a)
e . - (b)
e . - (c)
e . - (d)
e .
Pergunta comum: calcular a área do segmento circular para cada caso (resultado em unidades ao quadrado compatíveis com o
informado).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar — explicação didática.
Um segmento circular é a região do círculo “entre” um arco e a corda que une as extremidades desse arco. Dá para obter sua área subtraindo a área do triângulo isósceles (formado pelos dois raios e pela corda) da área do setor circular correspondente ao ângulo central
.
- Área do setor circular. Se o raio é
e o ângulo central é em graus, a área do setor é proporcional ao ângulo:
(Justificativa rápida: setor é
da área total do círculo
.)
- Área do triângulo isósceles formado pelos dois raios. Esse triângulo tem dois lados de comprimento
e ângulo entre eles igual a . A fórmula geral da área de um triângulo dado dois lados e o ângulo entre eles é
Aqui
e
, logo
(Aqui
usa
em graus, mas ao avaliar numericamente a calculadora / valores trigonométricos óbvios usamos as identidades conhecidas.)
- Área do segmento circular. Subtraindo:
Observação útil: se
estivesse em radianos, essa fórmula escreve-se de forma compacta
pois a área do setor em radianos é
. Ambas são equivalentes com a conversão
.
Agora aplicamos a fórmula em cada item, usando senos conhecidos quando possível para deixar respostas exatas.
Passo 3
Cálculo do item (a):
,
.
Área do setor:
Área do triângulo:
Usando
,
Área do segmento:
Se quiser aproximação numérica:
e
, então
.
Passo 4
Cálculo do item (b):
,
.
Área do setor:
Área do triângulo:
Como
,
Área do segmento:
Aproximando:
, então
.
Passo 5
Cálculo do item (c):
,
.
Área do setor:
Área do triângulo:
Área do segmento:
Aproximação:
.
Passo 6
Cálculo do item (d):
,
.
Área do setor:
Área do triângulo:
Sabendo que
,
Área do segmento:
Aproximação:
e
, então
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)