Em cada caso, determine a área de um segmento circular em que a medida do raio é r e o ângulo central mede \theta.
a) r=4 \mathrm{cme} \theta=45^{\circ}
b) r=8 \mathrm{dm} \mathrm{e} \theta=30^{\circ}
c) r=2 \mathrm{me} \theta=90^{\circ}
d) r=12 \mathrm{~cm} \theta=120^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos. Em cada item pede-se a área do segmento circular determinado por um arco de círculo de raio r e ângulo central \theta.
Dados (peguei-os do enunciado):
  • (a) r=4\\ \mathrm{cm} e \theta=45^\circ.
  • (b) r=8\\ \mathrm{dm} e \theta=30^\circ.
  • (c) r=2\\ \mathrm{m} e \theta=90^\circ.
  • (d) r=12\\ \mathrm{cm} e \theta=120^\circ.
Pergunta comum: calcular a área do segmento circular para cada caso (resultado em unidades ao quadrado compatíveis com o r informado).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — explicação didática.
Um segmento circular é a região do círculo “entre” um arco e a corda que une as extremidades desse arco. Dá para obter sua área subtraindo a área do triângulo isósceles (formado pelos dois raios e pela corda) da área do setor circular correspondente ao ângulo central \theta.
  1. Área do setor circular. Se o raio é r e o ângulo central é \theta em graus, a área do setor é proporcional ao ângulo:
\text{área do setor}=\frac{\theta}{360}\pi r^{2}.á
(Justificativa rápida: setor é \theta/360 da área total do círculo \pi r^2.)
  1. Área do triângulo isósceles formado pelos dois raios. Esse triângulo tem dois lados de comprimento r e ângulo entre eles igual a \theta. A fórmula geral da área de um triângulo dado dois lados a,b e o ângulo entre eles C é
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}ab\sin C.áâ
Aqui a=b=r e C=\theta, logo
\text{área do triângulo}=\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta.áâ
(Aqui \sin\theta usa \theta em graus, mas ao avaliar numericamente a calculadora / valores trigonométricos óbvios usamos as identidades conhecidas.)
  1. Área do segmento circular. Subtraindo:
\text{área do segmento}=\text{área do setor}-\text{área do triângulo}= \frac{\theta}{360}\pi r^{2}-\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta.áááâ
Observação útil: se \theta estivesse em radianos, essa fórmula escreve-se de forma compacta
\text{área do segmento}=\frac{1}{2}r^{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),á
pois a área do setor em radianos é \tfrac{1}{2}r^{2}\theta. Ambas são equivalentes com a conversão \theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\pi/180.
Agora aplicamos a fórmula em cada item, usando senos conhecidos quando possível para deixar respostas exatas.

Passo 3

Cálculo do item (a): r=4\\ \mathrm{cm}, \theta=45^\circ.
Área do setor:
\text{setor}=\frac{45}{360}\pi(4)^{2}=\frac{1}{8}\pi\cdot16=2\pi.
Área do triângulo:
\text{triângulo}=\frac{1}{2}(4)^{2}\sin45^\circ=\frac{1}{2}\cdot16\cdot\sin45^\circ=8\sin45^\circ.â
Usando \sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
\text{triângulo}=8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.â
Área do segmento:
\text{segmento}=2\pi-4\sqrt{2}\quad(\mathrm{cm}^{2}).
Se quiser aproximação numérica: 2\pi\approx6{,}28319 e 4\sqrt{2}\approx5{,}65685, então \text{segmento}\approx0{,}62634\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 4

Cálculo do item (b): r=8\\ \mathrm{dm}, \theta=30^\circ.
Área do setor:
\text{setor}=\frac{30}{360}\pi(8)^{2}=\frac{1}{12}\pi\cdot64=\frac{64}{12}\pi=\frac{16}{3}\pi.
Área do triângulo:
\text{triângulo}=\frac{1}{2}(8)^{2}\sin30^\circ=\frac{1}{2}\cdot64\cdot\sin30^\circ=32\sin30^\circ.â
Como \sin30^\circ=\tfrac{1}{2},
\text{triângulo}=32\cdot\frac{1}{2}=16.â
Área do segmento:
\text{segmento}=\frac{16}{3}\pi-16\quad(\mathrm{dm}^{2}).
Aproximando: \frac{16}{3}\pi\approx16{,}75516, então \text{segmento}\approx0{,}75516\\ \mathrm{dm}^{2}.

Passo 5

Cálculo do item (c): r=2\\ \mathrm{m}, \theta=90^\circ.
Área do setor:
\text{setor}=\frac{90}{360}\pi(2)^{2}=\frac{1}{4}\pi\cdot4=\pi.
Área do triângulo:
\text{triângulo}=\frac{1}{2}(2)^{2}\sin90^\circ=\frac{1}{2}\cdot4\cdot1=2.â
Área do segmento:
\text{segmento}=\pi-2\quad(\mathrm{m}^{2}).
Aproximação: \pi-2\approx1{,}14159\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Cálculo do item (d): r=12\\ \mathrm{cm}, \theta=120^\circ.
Área do setor:
\text{setor}=\frac{120}{360}\pi(12)^{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot144=48\pi.
Área do triângulo:
\text{triângulo}=\frac{1}{2}(12)^{2}\sin120^\circ=\frac{1}{2}\cdot144\cdot\sin120^\circ=72\sin120^\circ.â
Sabendo que \sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\text{triângulo}=72\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}.â
Área do segmento:
\text{segmento}=48\pi-36\sqrt{3}\quad(\mathrm{cm}^{2}).
Aproximação: 48\pi\approx150{,}79645 e 36\sqrt{3}\approx62{,}35383, então \text{segmento}\approx88{,}44262\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

(a) 2\pi-4\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}^{2}
(b) \dfrac{16}{3}\pi-16\\ \mathrm{dm}^{2}
(c) \pi-2\\ \mathrm{m}^{2}
(d) 48\pi-36\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^{2}

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