Determine cada um dos limites dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas:
- A função em questão é
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
O objetivo é determinar o número para o qualse aproxima quando fica arbitrariamente grande.
Passo 2
Observações iniciais e ideia intuitiva (sem resolver ainda).
- Para qualquer
real vale (a exponencial é sempre positiva). - Quando
cresce, cresce muito (tende a ), então tende a . A exponencial com expoente indo para costuma ir para .
Vou tornar essa ideia rigorosa usando desigualdades e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 3
Redução ao caso
(o comportamento no infinito depende apenas da cauda).
- O limite quando
depende apenas dos valores de grandes; portanto podemos olhar só para . - Para
temos . Dessa desigualdade segue
Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente), obtemos para
Como já notado,
. Assim para todo
vale a cadeia de desigualdades
Passo 4
Mostrando que
de forma rigorosa (prova com
).
Seja . Queremos achar
tal que, para todo
,
.
Seja
- Tome
. Note que é positivo sempre que ; se basta porque . - Para
temos , então e, aplicando exponencial,
Logo para todo
existe
com a propriedade desejada, o que prova que
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
- Para
já estabelecemos que . - Do Passo 4 sabemos que
. - Pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto segue que
(Isto porque
fica preso entre
e uma função que tende a
.)
Passo 6
Interpretação final e um exemplo numérico rápido para intuição.
- Intuitivamente:
cresce muito rápido, então decai rapidíssimo para . Por exemplo, ; para , já é extremamente pequeno. - Conclusão: a função tende a
quando .