Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{\left(-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty} e^{\left(-x^{2}\right)}.
Informações dadas:
  • A função em questão é x \mapsto e^{-x^{2}}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to+\infty.
    O objetivo é determinar o número para o qual e^{-x^{2}} se aproxima quando x fica arbitrariamente grande.

Passo 2

Observações iniciais e ideia intuitiva (sem resolver ainda).
  • Para qualquer x real vale e^{-x^{2}}>0 (a exponencial é sempre positiva).
  • Quando x cresce, x^{2} cresce muito (tende a +\infty), então -x^{2} tende a -\infty. A exponencial com expoente indo para -\infty costuma ir para 0.
    Vou tornar essa ideia rigorosa usando desigualdades e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 3

Redução ao caso x\ge 1 (o comportamento no infinito depende apenas da cauda).
  • O limite quando x\to+\infty depende apenas dos valores de x grandes; portanto podemos olhar só para x\ge 1.
  • Para x\ge 1 temos x^{2}\ge x. Dessa desigualdade segue
-x^{2}\le -x.
Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente), obtemos para x\ge 1
e^{-x^{2}}\le e^{-x}.
Como já notado, e^{-x^{2}}>0. Assim para todo x\ge 1 vale a cadeia de desigualdades
0 < e^{-x^{2}} \le e^{-x}.

Passo 4

Mostrando que \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0 de forma rigorosa (prova com \varepsilon).
Seja \varepsilon>0. Queremos achar N tal que, para todo x\ge N, e^{-x}<\varepsilon.
  • Tome N=\max\{1,\,-\ln(\varepsilon)\}. Note que -\ln(\varepsilon) é positivo sempre que \varepsilon\in(0,1); se \varepsilon\ge1 basta N=1 porque e^{-x}\le1.
  • Para x\ge N temos x\ge -\ln(\varepsilon), então -x\le \ln(\varepsilon) e, aplicando exponencial,
e^{-x}\le e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon.
Logo para todo \varepsilon>0 existe N com a propriedade desejada, o que prova que
\lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
  • Para x\ge 1 já estabelecemos que 0 \le e^{-x^{2}} \le e^{-x}.
  • Do Passo 4 sabemos que \lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0.
  • Pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to+\infty} e^{-x^{2}} = 0.
(Isto porque e^{-x^{2}} fica preso entre 0 e uma função que tende a 0.)

Passo 6

Interpretação final e um exemplo numérico rápido para intuição.
  • Intuitivamente: x^{2} cresce muito rápido, então e^{-x^{2}} decai rapidíssimo para 0. Por exemplo, e^{-2^{2}}=e^{-4}\approx 0{,}018; para x=5, e^{-25} já é extremamente pequeno.
  • Conclusão: a função tende a 0 quando x\to+\infty.

Resposta

0

Exercícios relacionados