Determine cada um dos limites dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
tende para (ou seja, cresce sem limite superior).
O que é pedido: determinar o comportamento da funçãoquando cresce indefinidamente.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma clara e sem pular etapas) o que significa dizer que uma função tende a crescer sem limite quando
.
Definição prática usada aqui: dizer que
cresce sem limite superior significa que, para qualquer número real positivo arbitrário
, é possível encontrar um
tal que, sempre que
, valha
.
Esta é a forma padrão de provar que um limite diverge para
: mostrar que para todo
existe
com a propriedade acima.
Passo 3
Observe uma propriedade simples da função raiz quadrada que vamos usar: ela é crescente para
. Um argumento curto para isso:
- Se
e são números não negativos com , então . - Aplicando a função
(a inversa de em não-negativos) vemos que, da desigualdade , segue , ou seja, implica .
Isso garante que, ao aumentar, também aumenta (não diminui).
Passo 4
Agora a prova direta com a definição descrita no Passo 2.
Seja
um número arbitrário. Queremos encontrar
tal que, para todo
, tenha-se
.
Considere
. Note que, como
, tem-se
.
Se
, então, usando que a raiz é crescente para não-negativos, obtemos
Portanto, para este
a condição da definição é satisfeita.
Passo 5
Interpretando o que foi mostrado no passo anterior: dado qualquer
conseguimos garantir que
para todo
. Isso é exatamente a condição que caracteriza a divergência da função para
quando
.
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
, então
. Para todo
vale
.