Determine cada um dos limites dados a seguir.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é x\mapsto \sqrt{x}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, cresce sem limite superior).
    O que é pedido: determinar o comportamento da função \sqrt{x} quando x cresce indefinidamente.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma clara e sem pular etapas) o que significa dizer que uma função tende a crescer sem limite quando x\to+\infty.
Definição prática usada aqui: dizer que \sqrt{x} cresce sem limite superior significa que, para qualquer número real positivo arbitrário M>0, é possível encontrar um N tal que, sempre que x>N, valha \sqrt{x}>M.
Esta é a forma padrão de provar que um limite diverge para +\infty: mostrar que para todo M>0 existe N com a propriedade acima.

Passo 3

Observe uma propriedade simples da função raiz quadrada que vamos usar: ela é crescente para x\ge 0. Um argumento curto para isso:
  • Se a e b são números não negativos com a>b, então a^2>b^2.
  • Aplicando a função \sqrt{\cdot} (a inversa de t\mapsto t^2 em não-negativos) vemos que, da desigualdade a^2>b^2, segue \sqrt{a^2}> \sqrt{b^2}, ou seja, a>b implica \sqrt{a}>\sqrt{b}.
    Isso garante que, ao aumentar x, \sqrt{x} também aumenta (não diminui).

Passo 4

Agora a prova direta com a definição descrita no Passo 2.
Seja M>0 um número arbitrário. Queremos encontrar N tal que, para todo x>N, tenha-se \sqrt{x}>M.
Considere N:=M^{2}. Note que, como M>0, tem-se \sqrt{N}=\sqrt{M^{2}}=M.
Se x>N, então, usando que a raiz é crescente para não-negativos, obtemos
\sqrt{x}>\sqrt{N}=M.
Portanto, para este N=M^{2} a condição da definição é satisfeita.

Passo 5

Interpretando o que foi mostrado no passo anterior: dado qualquer M>0 conseguimos garantir que \sqrt{x}>M para todo x>M^{2}. Isso é exatamente a condição que caracteriza a divergência da função para +\infty quando x\to+\infty.
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se M=1000, então N=M^{2}=10^{6}. Para todo x>10^{6} vale \sqrt{x}>1000.

Resposta

+\infty

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