Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \csc (L x) & \text { se } & x<0 \\\\ 7 L-\sqrt{2} & \text { se } & x \geq 0\end{array}\right., em a=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x\csc(Lx)=\dfrac{x}{\sin(Lx)},&x<0,\\[1em] 7L-\sqrt{2},&x\ge0, \end{cases}
e pede escolher L para que f seja contínua em a=0. Para isso precisamos que
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0).]

Passo 2

Calculamos o limite à esquerda:
\lim_{x\to0^-}x\csc(Lx) =\lim_{x\to0^-}\frac{x}{\sin(Lx)}.
Como \sin(Lx)\sim Lx quando x\to0, temos
\lim_{x\to0^-}\frac{x}{\sin(Lx)} =\lim_{x\to0^-}\frac{x}{Lx} =\frac{1}{L}.

Passo 3

Pela continuidade em 0 deve valer
\frac{1}{L}=f(0)=7L-\sqrt{2}.
Multiplicando por L obtemos a equação quadrática
7L^2-\sqrt{2}\,L-1=0.

Passo 4

Resolvendo
7L^2-\sqrt{2}\,L-1=0
pelo discriminante \Delta=(\sqrt{2})^2-4\cdot7\cdot(-1)=30, vem
L=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{30}}{2\cdot7} =\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{30}}{14}.

Resposta

L=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{30}}{14} \quad\text{ou}\quad L=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{14}.

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