Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a : f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \csc (L x) & \text { se } & x<0 \\\\ 7 L-\sqrt{2} & \text { se } & x \geq 0\end{array}\right., em a=0. Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} x\csc(Lx)=\dfrac{x}{\sin(Lx)},&x<0,\\[1em] 7L-\sqrt{2},&x\ge0, \end{cases} e pede escolher L para que f seja contínua em a=0. Para isso precisamos que \lim_{x\to0^-}f(x)=f(0).] Passo 2Calculamos o limite à esquerda: \lim_{x\to0^-}x\csc(Lx) =\lim_{x\to0^-}\frac{x}{\sin(Lx)}. Como \sin(Lx)\sim Lx quando x\to0, temos \lim_{x\to0^-}\frac{x}{\sin(Lx)} =\lim_{x\to0^-}\frac{x}{Lx} =\frac{1}{L}. Passo 3Pela continuidade em 0 deve valer \frac{1}{L}=f(0)=7L-\sqrt{2}. Multiplicando por L obtemos a equação quadrática 7L^2-\sqrt{2}\,L-1=0. Passo 4Resolvendo 7L^2-\sqrt{2}\,L-1=0 pelo discriminante \Delta=(\sqrt{2})^2-4\cdot7\cdot(-1)=30, vem L=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{30}}{2\cdot7} =\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{30}}{14}. Resposta L=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{30}}{14} \quad\text{ou}\quad L=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{14}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEm cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a : f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \csc (L x) & \text { se } & x<0 \\\\ 7 L-\sqrt{2} & \text { se } & x \geq 0\end{array}\right., em a=0. Exercício 19. Determine os limites infinitos \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (5 x)}{x^{2}} Encontre condições sobre A e B para que a função f=\left{ \begin{array}{llc}A x-B, & \text { se } x \leq 1 \\3 x, & \text { se } 1<x<2 \\B x^{2}-A, & \text { se } 2 \leq x\end{array}\right. seja contínua em x=1 e descontínua em x=2. Encontre condições sobre A e B para que a função f=\left{ \begin{array}{llc}A x-B, & \text { se } x \leq 1 \\3 x, & \text { se } 1<x<2 \\B x^{2}-A, & \text { se } 2 \leq x\end{array}\right. seja contínua em x=1 e descontínua em x=2.