Encontre condições sobre A e B para que a função
f=\left{\begin{array}{llc}A x-B, & \text { se } x \leq 1 \\3 x, & \text { se } 1<x<2 \\B x^{2}-A, & \text { se } 2 \leq x\end{array}\right.
seja contínua em x=1 e descontínua em x=2.
Passo 1
Temos a função por partes
f(x)= \begin{cases} A x - B, & x \le 1,\\\\ 3x, & 1 < x < 2,\\\ B x^2 - A,& x \ge 2, \end{cases}
e queremos que f seja contínua em x=1 e descontínua em x=2. Vamos usar a definição de continuidade em ponto (limite lateral igual ao valor da função) e exigir que, em x=2, esse critério falhe.
Passo 2
Para continuidade em x=1 é preciso que
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Da esquerda, \lim_{x\to1^-}f(x)=A\cdot1 - B = A - B.
Da direita, \lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1 = 3.
E f(1)=A\cdot1 - B = A - B.
Igualando, obtemos
A - B = 3.
Passo 3
Para ser descontínua em x=2 basta que \lim_{x\to2^-}f(x)\neq \lim_{x\to2^+}f(x) (ou diferente de f(2), já que f(2) vem do ramo da direita).
Da esquerda, \lim_{x\to2^-}f(x)=3\cdot2 = 6.
Da direita, \lim_{x\to2^+}f(x)=B\cdot2^2 - A = 4B - A.
Logo, a descontinuidade exige
4B - A \neq 6.
Resposta
\displaystyle A - B = 3 e \displaystyle 4B - A \neq 6.