Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(-1+\sqrt{3} i)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a raiz n-ésima principal w de (-1+\sqrt{3}\,i)^{1/2} (ou seja, a raiz quadrada principal) e posicionar as raízes em uma circunferência apropriada centrada na origem.
Informações dadas explicitamente:
  • O número complexo é z = -1+\sqrt{3}\,i.
  • Pede-se a raiz quadrada principal w e a posição das raízes (existem duas raízes para n=2).

Passo 2

Transformar z para a forma polar (módulo e argumento) é a forma mais direta de achar raízes complexas. Primeiro calculamos o módulo r de z usando a fórmula do módulo:
r = |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y a parte imaginária de z. Aqui x=-1 e y=\sqrt{3}. Então:
r = \sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Agora encontramos o argumento principal \theta=\Arg(z). Use a definição \tan\theta = \dfrac{y}{x} e ajuste pelo quadrante. Aqui
\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}.
O valor de referência com tangente \sqrt{3} é \pi/3. Como x<0 e y>0, z está no segundo quadrante, logo
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Verificação rápida: \frac{2\pi}{3} está no intervalo principal (-\pi,\pi], então é a escolha natural para a \Arg principal.
Portanto escrevemos
z = 2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Passo 4

Teorema dos n-ésimos raízes (visto via De Moivre): se z=r e^{i\theta}, então as n raízes de z são
w_{k}=r^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui n=2. Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{2\pi}{3} obtemos
r^{1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2}, \qquad w_{k}=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{2\pi/3+2\pi k}{2}\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\pi k\right)},
com k=0,1.

Passo 5

Calculemos as duas raízes explicitamente:
  • Para k=0:
w_{0}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}=\sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\big) =\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}.
  • Para k=1:
w_{1}=\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)}=\sqrt{2}\,e^{i\frac{4\pi}{3}} =\sqrt{2}\big(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\big) =\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 6

Qual é a raiz principal? Convenção comum: a raiz principal corresponde a k=0 usando o argumento principal \theta. Assim a raiz principal é
w = w_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}.

Passo 7

Posicionamento geométrico: ambas as raízes têm módulo \sqrt{2} (pois r^{1/2}=\sqrt{2}), então estão sobre a circunferência centrada na origem de raio \sqrt{2}. Seus argumentos (ângulos) são \dfrac{\pi}{3} e \dfrac{4\pi}{3}. Em coordenadas, os pontos são exatamente os w_{0} e w_{1} calculados acima.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): elevando a raiz principal ao quadrado deve voltar ao número original:
\big(\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}\big)^{2}=2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}=-1+\sqrt{3}\,i,
logo está correto.

Resposta

w=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2}
As raízes são w_{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2} e w_{1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{6}}{2}; elas ficam sobre a circunferência centrada na origem de raio \sqrt{2}, nos argumentos \dfrac{\pi}{3} e \dfrac{4\pi}{3}.

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