Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a raiz
-ésima principal
de
(ou seja, a raiz quadrada principal) e posicionar as raízes em uma circunferência apropriada centrada na origem.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- O número complexo é
. - Pede-se a raiz quadrada principal
e a posição das raízes (existem duas raízes para ).
Passo 2
Transformar
para a forma polar (módulo e argumento) é a forma mais direta de achar raízes complexas. Primeiro calculamos o módulo
de
usando a fórmula do módulo:
onde
é a parte real e
a parte imaginária de
. Aqui
e
. Então:
Passo 3
Agora encontramos o argumento principal
. Use a definição
e ajuste pelo quadrante. Aqui
O valor de referência com tangente
é
. Como
e
,
está no segundo quadrante, logo
Verificação rápida:
está no intervalo principal
, então é a escolha natural para a
principal.
Portanto escrevemos
Passo 4
Teorema dos
-ésimos raízes (visto via De Moivre): se
, então as
raízes de
são
Aqui
. Substituindo
e
obtemos
com
.
Passo 5
Calculemos as duas raízes explicitamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Qual é a raiz principal? Convenção comum: a raiz principal corresponde a
usando o argumento principal
. Assim a raiz principal é
Passo 7
Posicionamento geométrico: ambas as raízes têm módulo
(pois
), então estão sobre a circunferência centrada na origem de raio
. Seus argumentos (ângulos) são
e
. Em coordenadas, os pontos são exatamente os
e
calculados acima.
Passo 8
Checagem rápida (opcional, mas útil na prova): elevando a raiz principal ao quadrado deve voltar ao número original:
logo está correto.
Resposta
As raízes são