Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem entrar em teoria pesada ainda): vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
e depois avaliar entre
e
. Uma ferramenta útil aqui é a integração por partes.
Breve explicação da fórmula de integração por partes:
O que cada letra significa:
-
é uma função escolhida para facilitar quando derivada (produz ); -
é o restante do integrando, que devemos ser capazes de integrar para obter ; -
é a derivada de multiplicada por ; -
é uma primitiva de .
Dica prática: quando aparece um polinômio multiplicando uma exponencial, é comum escolher
como o polinômio (porque sua derivada reduz o grau) e
como a exponencial (fácil de integrar).
Passo 3
Começamos encontrando uma primitiva de
(parte do integrando). Aplicando integração por partes com as escolhas
temos
Pela fórmula,
Isso simplifica para
Passo 4
Agora calculamos
novamente por partes. Escolhendo
obtemos
Aplicando a fórmula,
E
. Portanto
Voltando à expressão do Passo 3,
Simplificando,
Passo 5
Agora integramos a integral completa
. Isso é soma de primitivas:
Usando os resultados anteriores,
Juntando termos,
(Verificação rápida: derivando essa primitiva aparece
, o que confirma que está correta.)
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva
. Calculamos
Calcule
:
Calcule
:
Portanto