Calcule a integral
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \left(x^{2}+1\right)e^{-x}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem entrar em teoria pesada ainda): vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de \left(x^{2}+1\right)e^{-x} e depois avaliar entre 0 e 1. Uma ferramenta útil aqui é a integração por partes.
Breve explicação da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
O que cada letra significa:
  • u é uma função escolhida para facilitar quando derivada (produz du);
  • dv é o restante do integrando, que devemos ser capazes de integrar para obter v;
  • du é a derivada de u multiplicada por dx;
  • v é uma primitiva de dv.
Dica prática: quando aparece um polinômio multiplicando uma exponencial, é comum escolher u como o polinômio (porque sua derivada reduz o grau) e dv como a exponencial (fácil de integrar).

Passo 3

Começamos encontrando uma primitiva de \int x^{2}e^{-x}\,dx (parte do integrando). Aplicando integração por partes com as escolhas
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx,
temos
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Pela fórmula,
\int x^{2}e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du = -x^{2}e^{-x} - \int \big(-e^{-x}\big)\,2x\,dx.
Isso simplifica para
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \int x e^{-x}\,dx novamente por partes. Escolhendo
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx,
obtemos
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula,
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - \int \big(-e^{-x}\big)\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
E \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}. Portanto
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -(x+1)e^{-x}.
Voltando à expressão do Passo 3,
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\big(-(x+1)e^{-x}\big).
Simplificando,
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -\big(x^{2} + 2x + 2\big)e^{-x} + C.

Passo 5

Agora integramos a integral completa \int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx. Isso é soma de primitivas:
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = \int x^{2}e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
Usando os resultados anteriores,
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -\big(x^{2} + 2x + 2\big)e^{-x} + \big(-e^{-x}\big) + C.
Juntando termos,
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -\big(x^{2} + 2x + 3\big)e^{-x} + C.
(Verificação rápida: derivando essa primitiva aparece (x^{2}+1)e^{-x}, o que confirma que está correta.)

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva F(x) = -\big(x^{2} + 2x + 3\big)e^{-x}. Calculamos
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = F(1)-F(0).
Calcule F(1):
F(1) = -\big(1^{2} + 2\cdot1 + 3\big)e^{-1} = -6e^{-1}.
Calcule F(0):
F(0) = -\big(0^{2} + 2\cdot0 + 3\big)e^{0} = -3.
Portanto
F(1)-F(0) = -6e^{-1} - (-3) = 3 - \dfrac{6}{e}.

Resposta

\,3 - \dfrac{6}{e}\,)

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