Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pede: determinar a raiz
-ésima principal para e posicionar as raízes em uma circunferência centrada na origem.\n - Dados relevantes: o número cujo radical é tomado é
e o índice é . Não há imagem adicional. Nada mais é pedido.
Passo 2
Representar
em forma polar (módulo
fator angular)\n
Explanação rápida: qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como , onde
é o módulo (distância à origem) e
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Aqui estamos com um número real positivo, então sua representação polar é simples.\n
Explanação rápida: qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como
- O módulo de
é .\n - O argumento principal de
é (pois está sobre o eixo real positivo).\n
Portanto podemos escrever\n
Passo 3
Fórmula das raízes
-ésimas e explicação das variáveis\n
A fórmula geral para as raízes de
é
A fórmula geral para as
Onde:
-
é o módulo do número original (aqui ). -
é um argumento do número original (aqui é o argumento principal). -
é a ordem da raiz (aqui ). -
indexa as diferentes raízes (aumenta o ângulo por múltiplos de antes de dividir por ).\n
O módulo de cada raiz é. O argumento de cada raiz é . A raiz principal normalmente é aquela com o argumento principal dividido por , isto é, o caso tomando no intervalo principal .
Passo 4
Calcular o módulo da raiz e a raiz principal\n
- Calcular
:
porque
.\n
- Raiz principal (escolhendo
e ):
Comentário amistoso: ou seja, a raiz cúbica principal de
é
— nada de mistério, já que
é positivo e tem raiz real positiva.
Passo 5
Calcular todas as raízes cúbicas e colocá-las na circunferência\n
Usando a fórmula com :
Usando a fórmula com
- Para
: - Para
:
Converter para forma retangular usando
e
:
- Para
:
Como
:
Posicionamento geométrico: todas as três raízes têm módulo
, logo estão sobre a circunferência centrada na origem de raio
. Elas estão igualmente espaçadas, com ângulos (em radianos)
(ou em graus
).
Passo 6
Resumo didático-final e dica para prova\n
- Para calcular raízes de um número complexo, coloque-o em forma polar
, calcule e divida o ângulo por , acrescentando para obter todas as raízes. - A raiz principal é a com
usando o argumento principal .
Dica prática: quando o número for real positivo (como), a raiz principal é simplesmente a raiz real positiva ( aqui), e as demais formam um polígono regular (triângulo equilátero neste caso) sobre a circunferência de raio igual à raiz.
Resposta
As três raízes cúbicas são