Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(8)^{1 / 3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pede: determinar a raiz n-ésima principal w para (8)^{1/3} e posicionar as raízes em uma circunferência centrada na origem.\n
  • Dados relevantes: o número cujo radical é tomado é 8 e o índice é n=3. Não há imagem adicional. Nada mais é pedido.

Passo 2

Representar 8 em forma polar (módulo \times fator angular)\n
Explanação rápida: qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como r e^{i\theta}, onde r\ge0 é o módulo (distância à origem) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Aqui estamos com um número real positivo, então sua representação polar é simples.\n
  • O módulo de 8 é r=8.\n
  • O argumento principal de 8 é \theta=0 (pois 8>0 está sobre o eixo real positivo).\n
Portanto podemos escrever\n 8 = 8 e^{i0}.

Passo 3

Fórmula das raízes n-ésimas e explicação das variáveis\n
A fórmula geral para as n raízes de r e^{i\theta} é
z_k = r^{1/n} e^{i(\theta+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Onde:
  • r é o módulo do número original (aqui r=8).
  • \theta é um argumento do número original (aqui \theta=0 é o argumento principal).
  • n é a ordem da raiz (aqui n=3).
  • k indexa as diferentes raízes (aumenta o ângulo por múltiplos de 2\pi antes de dividir por n).\n
    O módulo de cada raiz é r^{1/n}. O argumento de cada raiz é (\theta+2\pi k)/n. A raiz principal w normalmente é aquela com o argumento principal dividido por n, isto é, o caso k=0 tomando \theta no intervalo principal (-\pi,\pi].

Passo 4

Calcular o módulo da raiz e a raiz principal\n
  • Calcular r^{1/n}: r^{1/n}=8^{1/3}=2,
porque 2^3=8.\n
  • Raiz principal (escolhendo k=0 e \theta=0): w = 2 e^{i\cdot 0}=2.
Comentário amistoso: ou seja, a raiz cúbica principal de 8 é 2 — nada de mistério, já que 8 é positivo e tem raiz real positiva.

Passo 5

Calcular todas as raízes cúbicas e colocá-las na circunferência\n
Usando a fórmula com k=0,1,2:
  • Para k=0: z_0 = 2 e^{i\cdot 0} = 2.
  • Para k=1: z_1 = 2 e^{i(2\pi/3)}.
Converter para forma retangular usando e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi e \cos(2\pi/3)=-\tfrac{1}{2},\\ \sin(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
z_1 = 2\left(-\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}.
  • Para k=2: z_2 = 2 e^{i(4\pi/3)}.
Como \cos(4\pi/3)=-\tfrac{1}{2},\\ \sin(4\pi/3)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
z_2 = 2\left(-\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}.
Posicionamento geométrico: todas as três raízes têm módulo 2, logo estão sobre a circunferência centrada na origem de raio 2. Elas estão igualmente espaçadas, com ângulos (em radianos) 0,\\\ 2\pi/3,\\\ 4\pi/3 (ou em graus 0^\circ,\\\ 120^\circ,\\\ 240^\circ).

Passo 6

Resumo didático-final e dica para prova\n
  • Para calcular raízes de um número complexo, coloque-o em forma polar r e^{i\theta}, calcule r^{1/n} e divida o ângulo por n, acrescentando 2\pi k/n para obter todas as raízes.
  • A raiz principal é a com k=0 usando o argumento principal \theta.
    Dica prática: quando o número for real positivo (como 8), a raiz principal é simplesmente a raiz real positiva ( 2 aqui), e as demais formam um polígono regular (triângulo equilátero neste caso) sobre a circunferência de raio igual à raiz.

Resposta

w=2
As três raízes cúbicas são
2,\quad 2e^{2\pi i/3}=-1+i\sqrt{3},\quad 2e^{4\pi i/3}=-1-i\sqrt{3}

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