Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Perguntas:
- Determinar a raiz n-ésima principal
(aqui ). - Posicionar as raízes (todas as três) numa circunferência apropriada e centrada na origem.
- Determinar a raiz n-ésima principal
Passo 2
Entendimento básico (sem ainda calcular): qualquer número complexo
pode ser escrito em forma polar como
onde
é o módulo (distância ao origem) e
é o argumento (ângulo). A raiz
-ésima de
tem módulo
e argumentos dados por
, com
. A raiz principal usa o argumento principal
de
, normalmente escolhido em
.
Passo 3
Converter o número dado em forma polar:
- O número
é real negativo. Seu módulo é
- O argumento principal é
pois
aponta para a direção negativa do eixo real (ângulo
no semiplano superior) e
.
Passo 4
Calcular o módulo da raiz cúbica:
.
Como
, segue que
Explicando rápido: o módulo da raiz é simplesmente a raiz real de
, que é
.
Passo 5
Fórmula geral das raízes cúbicas e definição da raiz principal:
A raiz principal corresponde a
usando o argumento principal
. Portanto
Isso já é a resposta principal em forma exponencial. Agora convertemos para forma cartesiana para ficar mais direto na prova.
Passo 6
Converter
para forma cartesiana (a + ib):
Como
e
, temos
Interpretação: a raiz principal
tem módulo
e faz ângulo
(ou
) com o eixo real positivo.
Passo 7
Determinar as outras duas raízes (para posicioná-las na circunferência):
Usando e
na fórmula
Usando
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Posicionamento geométrico das raízes:
- Todas as três raízes têm módulo
, portanto estão sobre a circunferência centrada na origem com raio . - Os ângulos (medidos a partir do eixo real positivo) são:
-
(principal, ), -
( ), -
( ou ).
Elas estão igualmente espaçadas por( ) ao redor da circunferência.
-
Resposta
As três raízes estão na circunferência de raio