Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(-125)^{1 / 3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: (-125)^{1/3}.
  • Perguntas:
    • Determinar a raiz n-ésima principal w (aqui n=3).
    • Posicionar as raízes (todas as três) numa circunferência apropriada e centrada na origem.

Passo 2

Entendimento básico (sem ainda calcular): qualquer número complexo z pode ser escrito em forma polar como
z = r\,e^{i\theta},
onde r é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (ângulo). A raiz n-ésima de z tem módulo r^{1/n} e argumentos dados por \dfrac{\theta+2k\pi}{n}, com k=0,1,\dots,n-1. A raiz principal usa o argumento principal \Theta de z, normalmente escolhido em (-\pi,\pi].

Passo 3

Converter o número dado em forma polar:
  • O número -125 é real negativo. Seu módulo é
r = |{-125}| = 125.
  • O argumento principal é
\Theta = \pi,
pois -125 aponta para a direção negativa do eixo real (ângulo \pi no semiplano superior) e \pi\in(-\pi,\pi].

Passo 4

Calcular o módulo da raiz cúbica: \;r^{1/3}.
r^{1/3} = 125^{1/3}.
Como 5^3 = 125, segue que
125^{1/3} = 5.
Explicando rápido: o módulo da raiz é simplesmente a raiz real de 125, que é 5.

Passo 5

Fórmula geral das raízes cúbicas e definição da raiz principal:
w_k = r^{1/3}\,e^{i(\Theta+2k\pi)/3},\qquad k=0,1,2.
A raiz principal corresponde a k=0 usando o argumento principal \Theta=\pi. Portanto
w = w_0 = 5\,e^{i\pi/3}.
Isso já é a resposta principal em forma exponencial. Agora convertemos para forma cartesiana para ficar mais direto na prova.

Passo 6

Converter w para forma cartesiana (a + ib):
w = 5\big(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3)\big).
Como \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
w = 5\!\left(\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{5}{2} + i\,\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
Interpretação: a raiz principal w tem módulo 5 e faz ângulo \tfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ) com o eixo real positivo.

Passo 7

Determinar as outras duas raízes (para posicioná-las na circunferência):
Usando k=1 e k=2 na fórmula
w_k = 5\,e^{i(\pi+2k\pi)/3}=5\,e^{i(\pi/3 + 2k\pi/3)}.
  • Para k=1:
w_1 = 5\,e^{i(\pi/3+2\pi/3)} = 5\,e^{i\pi} = -5.
  • Para k=2:
w_2 = 5\,e^{i(\pi/3+4\pi/3)} = 5\,e^{i5\pi/3} = 5\big(\cos(5\pi/3)+i\sin(5\pi/3)\big) = \tfrac{5}{2} - i\,\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Posicionamento geométrico das raízes:
  • Todas as três raízes têm módulo 5, portanto estão sobre a circunferência centrada na origem com raio 5.
  • Os ângulos (medidos a partir do eixo real positivo) são:
    • \tfrac{\pi}{3} (principal, 60^\circ),
    • \pi ( 180^\circ),
    • \tfrac{5\pi}{3} ( 300^\circ ou -60^\circ).
      Elas estão igualmente espaçadas por \tfrac{2\pi}{3} ( 120^\circ) ao redor da circunferência.

Resposta

w = 5\,e^{i\pi/3} = \dfrac{5}{2} + i\,\dfrac{5\sqrt{3}}{2}
As três raízes estão na circunferência de raio 5 centrada na origem: 5e^{i\pi/3},\;5e^{i\pi},\;5e^{i5\pi/3}.

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