Em cada caso, diga se a função é contínua no ponto a indicado.
a=2, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x-2}{|x-2|}, \text { se } x \neq 2 \\\\ 1, \text { se } x=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x-2}{\lvert x-2\rvert}, & x\neq2,\\[6pt] 1, & x=2, \end{cases}
e pede para analisar se f é contínua em a=2. Para verificar continuidade em a, precisamos comparar \lim_{x\to a}f(x) com f(a), e isso passa por calcular os limites laterais em a=2.]

Passo 2

Para x<2, temos x-2<0 e \lvert x-2\rvert=2-x, logo
f(x)=\frac{x-2}{2-x}=-1.
Portanto
\lim_{x\to2^-}f(x)=-1.

Passo 3

Para x>2, temos x-2>0 e \lvert x-2\rvert=x-2, logo
f(x)=\frac{x-2}{x-2}=1.
Portanto
\lim_{x\to2^+}f(x)=1.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^-}f(x)=-1\neq1=\lim_{x\to2^+}f(x),
o limite \lim_{x\to2}f(x) não existe. Em consequência, mesmo que f(2)=1, não há continuidade em x=2.

Resposta

A função f não é contínua em a=2.

Exercícios relacionados