Em cada caso, encontre a derivada da função f(x), usando a definição.
f(x)=\frac{1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{x+1}
pelo método de definição de derivada, ou seja
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Vamos aplicar isso diretamente.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferença, temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\displaystyle \frac{1}{(x+h)+1}-\frac{1}{x+1}}{h} =\frac{\displaystyle \frac{1}{x+1+h}-\frac{1}{x+1}}{h}.

Passo 3

Colocando as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{x+1+h}-\frac{1}{x+1} =\frac{(x+1)-(x+1+h)}{(x+1+h)(x+1)} =\frac{-h}{(x+1+h)(x+1)}.
Logo o quociente vira
\frac{-h}{(x+1+h)(x+1)}\cdot\frac{1}{h} =-\frac{1}{(x+1+h)(x+1)}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando h\to0:
f'(x) =\lim_{h\to0}\biggl(-\frac{1}{(x+1+h)(x+1)}\biggr) =-\frac{1}{(x+1)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}.

Exercícios relacionados