Encontre (-8-8 raiz3 i)^1 / 4, expresse as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de um certo quadrado e indique qual delas é a raiz principal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as quatro raízes de ordem 4 de z = -8 - 8raiz3,i, expressando-as em coordenadas retangulares, mostrando que são vértices de um quadrado e indicando a raiz principal. O conteúdo envolvido é a teoria de raízes n-ésimas de números complexos via forma polar.

Passo 2

Primeiro vamos passar z para forma polar. Calcule o módulo:
|z| = raiz(-8)^2 + (-8raiz3)^2 = raiz64 + 192 = raiz256 = 16

Passo 3

Agora o argumento de z. Como a parte real e imaginária são ambas negativas, estamos no terceiro quadrante, e
theta = arg(z) = pi + arctanl(-8raiz3-8r) = pi + arctan(raiz3) = pi + pi3 = 4pi3
Para usar o argumento principal em ( -pi,pi ], podemos também tomar theta = -tfrac2pi3, equivalente.

Passo 4

A fórmula geral para as raízes de ordem 4 é
zk = |z|^1/4 expl(itheta + 2pi k4r), k = 0,1,2,3
Aqui |z|^1/4 = 16^1/4 = 2 e tomamos theta = -tfrac2pi3. Logo os argumentos das raízes são
alphak = -2pi/3 + 2pi k4 = -pi6 + pi k2, k=0,1,2,3

Passo 5

Agora convertemos para coordenadas retangulares usando 2(cosalphak + isinalphak):
para k=0, alpha0 = -pi6
z0 = 2l(tfracraiz32 - itfrac12r) = raiz3 - i
para k=1, alpha1 = pi3
z1 = 2l(tfrac12 + itfracraiz32r) = 1 + iraiz3
para k=2, alpha2 = 5pi6
z2 = 2l(-tfracraiz32 + itfrac12r) = -raiz3 + i
para k=3, alpha3 = 4pi3
z3 = 2l(-tfrac12 - itfracraiz32r) = -1 - iraiz3

Passo 6

Observação geométrica: esses quatro pontos de módulo 2 e argumentos separados de 90^circ são justamente os vértices de um quadrado inscrito na circunferência de raio 2, centrado na origem.

Passo 7

A raiz principal é a que corresponde a k=0, ou seja
boxedz0 = raiz3 - i

Resposta

As quatro raízes em coordenadas retangulares são
raiz3-i, 1+iraiz3, -raiz3+i, -1-iraiz3
São vértices de um quadrado de circunferência de raio 2 e a raiz principal é raiz3-i.

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