Encontre
, expresse as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de um certo quadrado e indique qual delas é a raiz principal.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as quatro raízes de ordem 4 de
, expressando-as em coordenadas retangulares, mostrando que são vértices de um quadrado e indicando a raiz principal. O conteúdo envolvido é a teoria de raízes n-ésimas de números complexos via forma polar.
Passo 2
Primeiro vamos passar
para forma polar. Calcule o módulo:
Passo 3
Agora o argumento de
. Como a parte real e imaginária são ambas negativas, estamos no terceiro quadrante, e
Para usar o argumento principal em
, podemos também tomar
, equivalente.
Passo 4
A fórmula geral para as raízes de ordem 4 é
Aqui
e tomamos
. Logo os argumentos das raízes são
Passo 5
Agora convertemos para coordenadas retangulares usando
:
para ,
⇒
para
para
,
⇒
para
,
⇒
para
,
⇒
Passo 6
Observação geométrica: esses quatro pontos de módulo 2 e argumentos separados de
são justamente os vértices de um quadrado inscrito na circunferência de raio 2, centrado na origem.
Passo 7
A raiz principal é a que corresponde a
, ou seja
Resposta
As quatro raízes em coordenadas retangulares são
São vértices de um quadrado de circunferência de raio 2 e a raiz principal é .
São vértices de um quadrado de circunferência de raio 2 e a raiz principal é