Em cada caso, encontre o valor de c para que f seja contínua em seu domínio:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}c, x=3 \\\ \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5}, x \geq 1 \\\ c, x \leq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função a partes
f(x)=\begin{cases} c, & x=3,\\[4pt] \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5}, & x\ge 1,\\[6pt] c, & x\le 1, \end{cases}
e pede: encontrar o(s) valor(es) de c para que f seja contínua em seu domínio.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x\le 1 a função vale constantemente c. Em particular, f(1)=c (pela segunda ocorrência x\le1).\n
  • Para x\ge 1 a função é dada pela expressão racional com raiz \displaystyle \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5}. Note que essa expressão, se avaliada diretamente em pontos onde o denominador é zero, dá forma indeterminada.\n
  • Há um caso especial escrito f(3)=c, ou seja, o valor em x=3 está explicitamente definido como c (mesmo que a fórmula para x\ge1 também se aplique a x=3 — o enunciado decidiu definir f(3)=c).\n
    Portanto devemos verificar continuidade nos pontos problemáticos da partição do domínio: em x=1 (onde a definição muda entre x\le1 e x\ge1) e em x=3 (onde o valor foi sobrescrito por c). A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Revisão do conceito que vamos usar (explicação didática): o que significa "f ser contínua em um ponto a"?\n
  • Definição prática: f é contínua em a se e somente se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual ao valor f(a).\n
  • Em contexto de função a partes, isso normalmente se traduz em igualar limites laterais à definição do valor no ponto: para a interior ao domínio, exigimos \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).\n
    Aqui, para x=1 precisamos que o limite pela direita da expressão (já que para a esquerda f é constante igual a c) coincida com f(1)=c. Para x=3 precisamos que o limite da expressão (pela esquerda e direita, mas a expressão vale em torno de 3) coincida com f(3)=c.\n
    Nosso plano prático: calcular \displaystyle \lim_{x\to1^+} da expressão e igualar a c; calcular \displaystyle \lim_{x\to3} da expressão e igualar a c. Isso dará as condições necessárias sobre c.

Passo 3

Condição de continuidade em x=1.\n
Primeiro, observe que para x<1 a função é constante c, logo
\lim_{x\to1^-} f(x)=c.
Assim, para continuidade em x=1 precisamos que
\lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = c.
Vamos calcular esse limite pela direita (que é o mesmo que o limite normal quando a expressão está definida em torno de 1). Se tentarmos substituir x=1 diretamente, tanto numerador quanto denominador dão zero:
\sqrt{1^{2}+1+1}-\sqrt{3}= \sqrt{3}-\sqrt{3}=0,\qquad 4\cdot1^{2}+1-5=0,
ou seja, forma indeterminada 0/0. Para resolver, usamos a técnica de racionalizar o numerador (multiplicar por conjugado) e também fatorar o denominador quando possível — vou explicar cada passo com calma.
Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}. Assim
\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3})\big(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}\big)}{(4 x^{2}+x-5)\big(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}\big)}.
No numerador o produto é diferença de quadrados:
(\sqrt{x^{2}+x+1})^{2}-(\sqrt{3})^{2}= (x^{2}+x+1)-3 = x^{2}+x-2.
Note que x^{2}+x-2 fatora como (x-1)(x+2) (explicando: procurar dois números cuja soma seja 1 e produto -2, que são 2 e -1, daí fatoração).\n
Além disso, o denominador polinomial pode ser fatorado: calcule as raízes de 4x^{2}+x-5. O discriminante é \Delta = 1+80=81, então as raízes são \displaystyle \frac{-1\pm 9}{8}, ou seja x=1 e x=-\tfrac{5}{4}. Portanto
4x^{2}+x-5 = (x-1)(4x+5).
Substituindo tudo:
\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(4x+5)\big(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}\big)}.
Agora cancelamos o fator comum (x-1) (válido para x\neq 1, e estamos calculando limite quando x\to1, então é permitido cancelar):
\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{x+2}{(4x+5)\big(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}\big)},\quad x\neq 1.
Agora podemos aplicar x\to1 diretamente nesta expressão contínua:
\lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{1+2}{(4\cdot1+5)\big(\sqrt{1^{2}+1+1}+\sqrt{3}\big)}.
Calcule passo a passo:
1+2=3,\qquad 4\cdot1+5=9,\qquad \sqrt{1^{2}+1+1}=\sqrt{3}.
Assim o denominador é 9\big(\sqrt{3}+\sqrt{3}\big)=9\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}. Portanto
\lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{3}{18\sqrt{3}}=\frac{1}{6\sqrt{3}}.
Para um formato mais conveniente, racionalizamos o denominador (opcional, só para ficar bonito):
\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}.
Conclusão parcial: para que f seja contínua em x=1 devemos ter
c=\frac{\sqrt{3}}{18}.

Passo 4

Condição de continuidade em x=3.\n
Pela definição dada no enunciado, f(3)=c. Para ser contínua em x=3 precisamos que
\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = c.
Agora verifique se a expressão é contínua em x=3. Substituindo x=3 diretamente no numerador e denominador obtemos:
\sqrt{3^{2}+3+1}-\sqrt{3}=\sqrt{13}-\sqrt{3}\quad(\text{não é }0),ãé
4\cdot 3^{2}+3-5 = 36+3-5=34\quad(\text{não é }0).ãé
Como numerador e denominador são finitos e o denominador é não nulo em x=3, a função dada pela expressão é contínua em 3 (como qualquer fração de funções contínuas onde o denominador não se anula). Portanto o limite é simplesmente o valor substituído:
\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{3}}{4 x^{2}+x-5} = \frac{\sqrt{13}-\sqrt{3}}{34}.
Logo, para continuidade em x=3 precisamos que
c=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{3}}{34}.

Passo 5

Comparação das duas condições encontradas e conclusão final.\n
Das duas condições obtivemos:
c=\frac{\sqrt{3}}{18}\quad\text{(necessário para continuidade em }x=1),á
e
c=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{3}}{34}\quad\text{(necessário para continuidade em }x=3).á
Agora verificamos se essas duas expressões representam o mesmo número. Podemos ver numericamente que são diferentes:
\frac{\sqrt{3}}{18}\approx \frac{1{,}732}{18}\approx 0{,}0962,
\frac{\sqrt{13}-\sqrt{3}}{34}\approx \frac{3{,}606-1{,}732}{34}\approx \frac{1{,}874}{34}\approx 0{,}0551.
Como os valores são distintos, não existe um único valor de c que satisfaça simultaneamente as duas condições. Portanto não há valor de c que torne f contínua em todo o seu domínio (isto é, contínua tanto em x=1 quanto em x=3 ao mesmo tempo).\n
Entretanto, se quisermos a continuidade apenas em um desses pontos isoladamente, os valores adequados são os que calculamos acima (cada um garantindo continuidade naquele ponto específico).

Resposta

c=\dfrac{\sqrt{3}}{18} (para continuidade em x=1).\n
c=\dfrac{\sqrt{13}-\sqrt{3}}{34} (para continuidade em x=3).\n
Não existe valor de c que torne f contínua simultaneamente em ambos os pontos (ou seja, contínua em todo o domínio).

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