Estude a continuidade das seguintes funçōes:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2}, x \neq-2 \\\\ 0, x=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a continuidade da função definida por
f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+2}, & x\neq -2,\\[6pt] 0, & x=-2.\end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A função vale \dfrac{1}{x+2} para todo x diferente de -2.
  2. A função vale 0 exatamente em x=-2.
  3. Preciso determinar em quais pontos f é contínua e em quais não, e, se possível, classificar o tipo de descontinuidade em x=-2.]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicação didática): dizemos que f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto significa duas coisas: (i) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe (é finito), e (ii) esse valor é igual ao valor dado por f(a). Vou aplicar essa definição ponto a ponto.

Passo 3

Análise para um ponto a com a\neq -2 (ou seja, para qualquer ponto diferente de -2). Intuição: \dfrac{1}{x+2} é uma função racional simples, e funções racionais são contínuas em todos os pontos em que o denominador não é zero. Aqui o denominador x+2 é não-nulo quando x\neq -2. Vou mostrar de forma um pouco mais concreta por desigualdades (um mini-ε–δ) para você poder repetir na prova.
Seja a\neq -2. Quero provar que \lim_{x\to a}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{a+2}. Considere
\left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{a+2}\right| =\left|\dfrac{a+2-(x+2)}{(x+2)(a+2)}\right| =\dfrac{|x-a|}{|x+2|\;|a+2|}.
Como a\neq -2, temos |a+2|>0. Escolho \delta_1=\dfrac{|a+2|}{2}>0. Se 0<|x-a|<\delta_1 então
|x+2|\ge |a+2|-|x-a|>\,|a+2|-\dfrac{|a+2|}{2}=\dfrac{|a+2|}{2}.
Logo, para 0<|x-a|<\delta_1,
\left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{a+2}\right| \le \dfrac{|x-a|}{\left(\dfrac{|a+2|}{2}\right)|a+2|} = \dfrac{2}{|a+2|^2}\,|x-a|.
Dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher
\delta=\min\left\{\delta_1,\; \dfrac{|a+2|^2}{2}\varepsilon\right\}
para assegurar que |x-a|<\delta implica \left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{a+2}\right|<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{x\to a}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{a+2}.
Como f(a)=\dfrac{1}{a+2} (pois a\neq -2), concluímos que f é contínua em todo a\neq -2.
Resumo prático: f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R} exceto, possivelmente, em -2.

Passo 4

Análise no ponto x=-2. Aqui preciso verificar se
\lim_{x\to -2} f(x)=f(-2)=0.
Mas para x se aproximando de -2 (com x\neq -2) a função é \dfrac{1}{x+2}. Vamos ver os limites laterais:
  • Se x\to -2^+ (ou seja, x>-2 aproximando-se de -2), então x+2 é um número positivo que fica muito pequeno. Logo \dfrac{1}{x+2}\to +\infty.
  • Se x\to -2^- (ou seja, x<-2 aproximando-se de -2), então x+2 é um número negativo que fica muito pequeno em módulo. Logo \dfrac{1}{x+2}\to -\infty.
Portanto as duas limites laterais não só não coincidem como são infinitos de sinais opostos. Em particular não existe um limite finito \lim_{x\to -2}\dfrac{1}{x+2}. Como o limite não existe (não é igual a 0=f(-2)), a função não é contínua em x=-2.
Classificação da descontinuidade em x=-2: é uma descontinuidade do tipo infinita (às vezes chamada de descontinuidade essencial do tipo infinito), porque a função tende para +\infty por um lado e para -\infty pelo outro. Não é uma descontinuidade removível, pois não existe um valor que eu possa atribuir a f(-2) que torne a função contínua naquele ponto (o limite não é finito).

Passo 5

Conclusão e interpretação final (forma que você pode anotar na prova):
  • Para todo a\neq -2: \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a), logo f é contínua em a.
  • Em x=-2: \displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty; o limite não existe (não é finito) e f(-2)=0. Portanto f é descontínua em x=-2, com descontinuidade do tipo infinita.

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{-2\} e descontínua em \{-2\} (descontinuidade do tipo infinita).

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