A função vale \dfrac{1}{x+2} para todo x diferente de -2.
A função vale 0 exatamente em x=-2.
Preciso determinar em quais pontos f é contínua e em quais não, e, se possível, classificar o tipo de descontinuidade em x=-2.]
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (explicação didática): dizemos que f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isto significa duas coisas: (i) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe (é finito), e (ii) esse valor é igual ao valor dado por f(a). Vou aplicar essa definição ponto a ponto.
Passo 3
Análise para um ponto a com a\neq -2 (ou seja, para qualquer ponto diferente de -2). Intuição: \dfrac{1}{x+2} é uma função racional simples, e funções racionais são contínuas em todos os pontos em que o denominador não é zero. Aqui o denominador x+2 é não-nulo quando x\neq -2. Vou mostrar de forma um pouco mais concreta por desigualdades (um mini-ε–δ) para você poder repetir na prova.
Seja a\neq -2. Quero provar que \lim_{x\to a}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{a+2}. Considere
para assegurar que |x-a|<\delta implica \left|\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{a+2}\right|<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{x\to a}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{a+2}.
Como f(a)=\dfrac{1}{a+2} (pois a\neq -2), concluímos que f é contínua em todo a\neq -2.
Resumo prático: f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R} exceto, possivelmente, em -2.
Passo 4
Análise no ponto x=-2. Aqui preciso verificar se
\lim_{x\to -2} f(x)=f(-2)=0.
Mas para x se aproximando de -2 (com x\neq -2) a função é \dfrac{1}{x+2}. Vamos ver os limites laterais:
Se x\to -2^+ (ou seja, x>-2 aproximando-se de -2), então x+2 é um número positivo que fica muito pequeno. Logo \dfrac{1}{x+2}\to +\infty.
Se x\to -2^- (ou seja, x<-2 aproximando-se de -2), então x+2 é um número negativo que fica muito pequeno em módulo. Logo \dfrac{1}{x+2}\to -\infty.
Portanto as duas limites laterais não só não coincidem como são infinitos de sinais opostos. Em particular não existe um limite finito \lim_{x\to -2}\dfrac{1}{x+2}. Como o limite não existe (não é igual a 0=f(-2)), a função não é contínua em x=-2.
Classificação da descontinuidade em x=-2: é uma descontinuidade do tipo infinita (às vezes chamada de descontinuidade essencial do tipo infinito), porque a função tende para +\infty por um lado e para -\infty pelo outro. Não é uma descontinuidade removível, pois não existe um valor que eu possa atribuir a f(-2) que torne a função contínua naquele ponto (o limite não é finito).
Passo 5
Conclusão e interpretação final (forma que você pode anotar na prova):
Para todo a\neq -2: \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a), logo f é contínua em a.
Em x=-2: \displaystyle\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty; o limite não existe (não é finito) e f(-2)=0. Portanto f é descontínua em x=-2, com descontinuidade do tipo infinita.
Resposta
f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{-2\} e descontínua em \{-2\} (descontinuidade do tipo infinita).