Em cada caso, encontre o valor de
para que
seja contínua em seu domínio:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de
A única possível descontinuidade ocorre em
a expressão dada é uma função composta de raízes e operações algébricas, bem comportada no intervalo dado). Então precisamos escolher
para que
seja contínua em
.]
Passo 2
O que significa ser contínua em
? Precisamos que
exista e que esse limite seja igual a
. Em outras palavras, para a continuidade em
devemos ter
Vou calcular esse limite passo a passo. Observação: a expressão da primeira parte da função está definida para
arbitrariamente próximos de
vindos da direita e da esquerda (desde que
), então basta calcular o limite bilateral.
Passo 3
Para calcular
é conveniente eliminar a forma “indeterminada” ao substituir
(pois ao pôr
o numerador vira
e o denominador é
). Usamos a técnica de racionalizar o numerador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
. Assim, para
:
Passo 4
Agora simplificamos o produto no numerador usando a identidade
. Com
e
temos
Substituindo no quociente obtemos, para
,
onde a cancelamento de
é permitido porque estamos considerando
.
Passo 5
Agora o limite ficou muito simples:
Como a função
é contínua perto de
, podemos apenas substituir
:
Portanto o limite existe (é o mesmo vindo da direita e da esquerda) e vale
.
Passo 6
Para que
seja contínua em
devemos ter
igual a esse limite. Logo
Fica o toque motivador: mandou bem por insistir — agora já sabe racionalizar e usar limites em casos com raiz!