Em cada caso, encontre o valor de c para que f seja contínua em seu domínio:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} & , x \geq-1, x \neq 0 \\\ c & , x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de c\) de modo que \(f\) seja contínua em seu domínio. As informações dadas são: \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}, & x\ge -1,\\ x\neq 0,\\[6pt] c, & x=0. \end{cases}
A única possível descontinuidade ocorre em x=0\] (porque fora de \(0 a expressão dada é uma função composta de raízes e operações algébricas, bem comportada no intervalo dado). Então precisamos escolher c para que f seja contínua em 0.]

Passo 2

O que significa ser contínua em 0? Precisamos que
\lim_{x\to 0} f(x)
exista e que esse limite seja igual a f(0)=c. Em outras palavras, para a continuidade em 0 devemos ter
c=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}.
Vou calcular esse limite passo a passo. Observação: a expressão da primeira parte da função está definida para x arbitrariamente próximos de 0 vindos da direita e da esquerda (desde que x\ge-1), então basta calcular o limite bilateral.

Passo 3

Para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
é conveniente eliminar a forma “indeterminada” ao substituir x=0 (pois ao pôr x=0 o numerador vira \sqrt{1}-1=0 e o denominador é 0). Usamos a técnica de racionalizar o numerador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+1}+1. Assim, para x\neq 0:
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} =\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}.

Passo 4

Agora simplificamos o produto no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Com a=\sqrt{x+1} e b=1 temos
(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)=(\sqrt{x+1})^2-1^2=(x+1)-1=x.
Substituindo no quociente obtemos, para x\neq 0,
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1},
onde a cancelamento de x é permitido porque estamos considerando x\neq 0.

Passo 5

Agora o limite ficou muito simples:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.
Como a função x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} é contínua perto de 0, podemos apenas substituir x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe (é o mesmo vindo da direita e da esquerda) e vale \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Para que f seja contínua em 0 devemos ter c igual a esse limite. Logo
c=\frac{1}{2}.
Fica o toque motivador: mandou bem por insistir — agora já sabe racionalizar e usar limites em casos com raiz!

Resposta

c=\dfrac{1}{2}

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